2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-15 08:14:57 | ||
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文档简介
2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.向量，，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若点在圆内，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线垂直，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么( )
A. B. C. D.
6.已知平面上两定点，，则满足常数且的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆已知在中，，，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市、、，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间单位：小时在以下哪个区间内( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 空间向量与垂直
B. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为
C. 已知向量，，，若可作为一组基底，则可取
D. 若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为
10.已知椭圆的离心率为，短轴长为，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
B. 存在点，使得的长度为
C. 椭圆上存在个不同的点，使得
D. 内切圆半径的最大值为
11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有( )
A. 曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
B. 曲线夹在直线和直线之间
C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的倍
D. 曲线上任意两点距离都不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线经过的定点坐标为 ．
13.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 ．
14.若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点在直线上运动，点为，点为．
求直线的方程
的面积是否为定值若是，求出该值若不是，说明理由．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆及点和
若斜率为的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径
已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，，，且，平面平面，四边形为正方形．
求证：．
若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为时，．
求椭圆的方程
若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围
求四边形的面积的最小值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示其中，，，且，且空间向量为该平面的一个法向量有四个平面，，，
若平面与平面互相垂直，求实数的值
请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为
若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
由点斜式方程，化简得；
的面积为定值；
由于，故AB，
又点在直线上运动，故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离．
，
16.解：圆可化为，
圆心为，半径，
直线的方程为，圆心到直线距离为．
由弦长公式，得；
因为，
所以点在以为直径的圆上，
不妨记为圆，
从而圆与圆有两个交点，
又圆心距，
只需满足，得，
故．
17.证明：如图，连接，，，
，又，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，而平面，，
而四边形为正方形，则，且，，平面，
平面，
平面，．
解：平面平面，且平面平面，，平面，
平面，又平面，
故平面平面，
从而点到平面的距离为点到直线的距离，且为，
又点在线段上，且点到平面距离为，故点为线段的三等分点靠近点，
如图，取中点，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
又，，
设平面的法向量，则
不妨令，可得，
同理，可求平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：当直线的斜率为时，直线垂直于轴，
，，即，
在椭圆上，所以，结合
解得：，，所以椭圆方程为
所以，，设，则，
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值，
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值，
所以的取值范围为；
当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，
并化简得设，，
则，，
因为与相交于点，且的斜率为，所以，．
四边形的面积，
当时，上式取等号．
当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
19.解：平面的法向量，平面的法向量，
所以，故．
证明：不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，
则点到平面的距离为
．
由解得交点，
同理，可得其它交点，，，
又四面体外接球体积为，故外接球半径，
设球心为，则，
即有得或，
当球心坐标为时，，得舍去，
当球心坐标为时，，
得舍去或，故H，
到平面即的距离为
，
又，故．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.向量，，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若点在圆内，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线垂直，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么( )
A. B. C. D.
6.已知平面上两定点，，则满足常数且的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆已知在中，，，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市、、，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间单位：小时在以下哪个区间内( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 空间向量与垂直
B. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为
C. 已知向量，，，若可作为一组基底，则可取
D. 若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为
10.已知椭圆的离心率为，短轴长为，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
B. 存在点，使得的长度为
C. 椭圆上存在个不同的点，使得
D. 内切圆半径的最大值为
11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有( )
A. 曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
B. 曲线夹在直线和直线之间
C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的倍
D. 曲线上任意两点距离都不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线经过的定点坐标为 ．
13.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 ．
14.若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点在直线上运动，点为，点为．
求直线的方程
的面积是否为定值若是，求出该值若不是，说明理由．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆及点和
若斜率为的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径
已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，，，且，平面平面，四边形为正方形．
求证：．
若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为时，．
求椭圆的方程
若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围
求四边形的面积的最小值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示其中，，，且，且空间向量为该平面的一个法向量有四个平面，，，
若平面与平面互相垂直，求实数的值
请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为
若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
由点斜式方程，化简得；
的面积为定值；
由于，故AB，
又点在直线上运动，故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离．
，
16.解：圆可化为，
圆心为，半径，
直线的方程为，圆心到直线距离为．
由弦长公式，得；
因为，
所以点在以为直径的圆上，
不妨记为圆，
从而圆与圆有两个交点，
又圆心距，
只需满足，得，
故．
17.证明：如图，连接，，，
，又，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，而平面，，
而四边形为正方形，则，且，，平面，
平面，
平面，．
解：平面平面，且平面平面，，平面，
平面，又平面，
故平面平面，
从而点到平面的距离为点到直线的距离，且为，
又点在线段上，且点到平面距离为，故点为线段的三等分点靠近点，
如图，取中点，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
又，，
设平面的法向量，则
不妨令，可得，
同理，可求平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：当直线的斜率为时，直线垂直于轴，
，，即，
在椭圆上，所以，结合
解得：，，所以椭圆方程为
所以，，设，则，
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值，
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值，
所以的取值范围为；
当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，
并化简得设，，
则，，
因为与相交于点，且的斜率为，所以，．
四边形的面积，
当时，上式取等号．
当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
19.解：平面的法向量，平面的法向量，
所以，故．
证明：不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，
则点到平面的距离为
．
由解得交点，
同理，可得其它交点，，，
又四面体外接球体积为，故外接球半径，
设球心为，则，
即有得或，
当球心坐标为时，，得舍去，
当球心坐标为时，，
得舍去或，故H，
到平面即的距离为
，
又，故．
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