2024-2025学年广东省惠州一中高一（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省惠州一中高一（上）质检数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合或，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
4.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数例如，那么“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.不等式的解集为或，则的解集为( )
A. B.
C. D.
7.某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有人，三科都参加的有人现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票( )
A. B. C. D.
8.若实数，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面命题正确的是( )
A. 若且，则，至少有一个大于
B. 命题“若，则”的否定是“存在，则”
C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
10.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
11.我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是( )
A. 已知，则
B. 已知或，则或
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的取值范围是______．
13.不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
14.命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在；““是“”的充分不必要条件；，这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
当时，求；
若_________，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合，．
若，求实数，的取值；
当，且时，求实数的取值范围．
17.本小题分
命题：任意，成立；命题：，成立．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
某地疫情期间，为了最大限度保障人民群众的生命安全，需要按照要求建造隔离病房和药物仓库已知建造隔离病房的所有费用万元和病房与药物仓库的距离千米的关系为：若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每公里成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．
求的表达式；
当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值．
19.本小题分
已知，，，关于的不等式的解集为或．
求，的值；
解关于的不等式；
若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：当时，集合，，所以；
若选择，则，则，
因为，所以，
又，所以，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择，“ “是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以，又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
若选择，，因为，，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是．
16.解：由已知可得集合，
因为，则，是方程的两个根，
则，解得，；
当时，，
当时，方程为，
当时，，解得，
当时，，显然不成立，
当时，，解得，
当时，，不成立，
综上可得：的取值范围为．
17.解：对于命题：对任意，不等式恒成立，
则有方程没有实数解，
所以，可得，
综上，当为真时，实数的取值范围是；
对于命题：存在，使得不等式成立，
只需，
而，
开口向下，对称轴，
又因为
所以，
所以，
所以当命题为真时，实数的取值范围是；
当两个命题都为假命题时，则，
即，
所以两个命题至少有一个真命题时的范围为．
18.解：由题意知，距离为时，隔离病房建造费用为万元，
所以，得，
所以，；
由知，
，
当且仅当即时，等号成立，
即当时，函数取到最小值万元，
所以隔离病房与药物仓库距离时，可使得总费用最小，最小值为万元．

19.解：由题意：，是方程的两根．
由，或舍去．
故，．
原不等式可化为．
若，则，解得：；
若，则，解得：或；
若，则，
当，即时，解得：；
当，即时，解得：；
当，即时，解得：．
综上可知：当时，不等式的解集为：或；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：．
问题转化为恒成立，
因为恒成立，所以，恒成立，
因为．
设，则，，
且．
因为，当且仅当，即时取“”．
所以，所以．
所以．
所以的取值范围是：．
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