2024-2025学年上海市徐汇区南模中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市徐汇区南模中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，用斜二测画法作的直观图得，其中，是边上的中线，由图形可知，在是的中点中，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，连接，，对空间任意两点，，若线段与线段，都不相交，则称，两点可视，下列选项中与点可视的为( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
3.分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为、、，则( )
A. B. C. D.
4.已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：线段在正方体个表面的投影长度为，则为定值；直线与正方体条棱所成的夹角的，则为定值下列判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.空间两直线所成角的取值范围是______．
6.如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二
面角的大小为______．
7.已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图，若直线与所成角的大小为，则______．
8.以下四个命题中，所有真命题的序号为______．
三角形及其内部绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；
正棱柱的侧棱垂直于底面；
棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；
圆锥的轴截面一定是等腰三角形．
9.正方体中，点为的中点，则异面直线，所成的角的大小为______．
10.已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为______．
11.如图，在正四棱柱中，，，为的中点，则点到平面的距离为______．
12.在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种已知，是两个相交平面，空间两条直线，在上的射影是直线，，，在上的射影是直线，用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：______．
13.已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为和，高为将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中不考虑外包装的厚度，则外包装盒的表面积的最小值为______．
14.已知正四面体中，，，，，在线段上，且，过点作平行于直线，的平面，截面面积为，则所有截面积之和为______公式：
15.在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最小时，记过点，，的平面截正方体所得到的截面为，所有的面积组成的集合记为，则 ．
16.在棱长为的正方体中，，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知长方体中，，，，分别是，的中点．
Ⅰ求证：直线平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，．
求异面直线和所成角；
求二面角的正切值．
19.本小题分
如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，设、的纵坐标为．
求此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积和表面积关于的表达式；
求、的取值范围．
20.本小题分
对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”已知，，．
若为的“影数列”，为的“镜数列”，
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)比较和的大小，并说明理由．
若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
21.本小题分
如图，在平行六面体中，，，平面，与底面所成角为，设直线与平面D、平面、平面所成角的大小分别为，，．
若，求平行六面体的体积的取值范围；
若且，求，，中的最大值；
若，，其中是指，中的最大的数，求的最小值．
参考答案
1.
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11.
12.，并且与相交或：，并且与相交
13.
14.
15.
16.
17.证明：取的中点，连接，，
由条件，分别是，的中点可知，，且，
故为平行四边形，所以，
平面，且平面
平面
解：平面平面，
直线与平面所成角就是直线与平面所成角．
平面
在平面内的射影为，
因此就是直线与平面所成角．
在中，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：在直三棱柱中，平面，，平面，
则，，
点的曲率为，
，
为正三角形，
取中点，连，则可得，
即为异面直线和所成角，
设，则可得，，，
，
即异面直线和所成角为．
取的中点，连接，则，
平面，平面，
，
，，平面，
平面C.
又平面，，过作的垂线，垂足为，连接，
则，又，，平面，
平面，
又平面，，
为二面角的平面角的补角，
设，，则，，，
由等面积法可得，
则，
则，
故二面角的正切值为．
19.解：由，当且仅当时取等号，得，
又矩形绕轴旋转得到的几何体是圆柱，设、的坐标为，，
则圆柱的底面圆半径为，高为，
令，则，得，
圆柱的体积，
圆柱的表面积；
由可知，，
则，当时，取得最大值为，可得；
令，则，
表面积在严格递增，得，
综上所述：．
20.解：由题意，，，，；
所以．
(ⅱ)当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当，时，，数学归纳法证明如下
当时，，命题成立；
假设当时，命题成立，
即，则当时，
．
因为，，即命题也成立，
由可知，当，时，．
，则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，
单调递增，所以新，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，
当时，等式不成立；当时，为偶数，等式不成立；
所以等式无正整数解．
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．
21.解：由题意得，四边形的面积为
平行六面体的体积，
平行六面体的体积的取值范围为．
，，即，
又平面，，
平面，
，，
由题意得，，，，，
，，
以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设侧面的法向量，
，取得，
侧面的法向量，
，
直线与侧面所成角的大小为，
综上，，，中最大值为．
，即，
又平面，，
平面，
，，
，，，
以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设侧面的法向量，
，令得，
侧面的法向量，
，
，
与所在的直线的夹角为，
，
令，，则，
，，
，
，
．
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