2024-2025学年江苏省南京市南京一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列各组函数表示相同函数的是( )
A. ， B. ，
C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域，则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
6.设，，则等于( )
A. B. C. D.
7.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数已知函数是“函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，方程，，则方程的根的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合，，，，则下列关系中正确是( )
A. B. C. D.
10.已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 在上单调递减 D. 的值域为
11.若，，，则下列说法正确的有( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为______．
13.已知关于的方程其中，均为实数有两个不等实根，若，满足，则的取值范围是______．
14.已知，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列各式的值．
；
．
16.本小题分
已知全集，集合，．
若，求和；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知定义在上的函数其中．
若关于的不等式的解集为，求实数的值；
若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
年月日，国务院新闻办举办了年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过公里该公司通过市场分析得出，每生产千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产万块此种动力电池，预计年全年成本总投入万元，全年利润为万元由市场调研知，该种动力电池供不应求利润收入成本总投入
求函数的解析式；
当年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？
19.本小题分
已知函数；
判断并证明函数的奇偶性；
若函数在上的最小值为，求实数的值．
参考答案
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．
．
16.解：，
当时，，或，
所以，
或；
由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是
17.解：函数
，
当时，，，又的解集为，
所以，解得，所以的值为；
不等式，即，
由得，
所以对任意恒成立；
当时，，
当且仅当时取“”号；
所以，
即的取值范围是．
18.解：由题意得，利润函数，
因为，
所以当时，，
当时，，
综上知，函数的解析式为．
因为，
当时，，二次函数的图象是抛物线，对称轴是，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以最大值是；
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值；
因为，所以的最大值为，
即当年动力电池的产量为块时，该企业利润最大，最大利润是万元．
19.解：若，则，，定义域关于原点对称，
因为，故是奇函数；
若，，则，不是奇函数，
又，，，故不是偶函数，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
综上，当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数．
当时，，
对称轴为，
所以函数在上单调递增．
所以，即，
解得舍或；
当时，，
对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，
即，舍去；
当时，，
对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，
当时，，所以，即，
得，均舍；
当时，，则，即，
得舍去，；
当时，，
因为，则此时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，得，均舍．
综上，或．
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