2024-2025学年广东省东莞市两校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市两校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.是有理数集，是实数集，命题：，，则( )
A. 是真命题，：，
B. 是真命题，：，
C. 是假命题，：，
D. 是假命题，：，
3.“方程有实根”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
5.函数在上的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.若在上是减函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列与函数有关的命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若幂函数的图象经过点，则
C. 若奇函数在有最小值，则在有最大值
D. 若偶函数在是减函数，则在是增函数
11.下列求最值的运算中，运算方法错误的有( )
A. 当时，，当且仅当取等，解得或，又由，所以，故时，的最大值是．
B. 当时，，当且仅当取取等，解得或，又由，所以，故时，的最小值为．
C. 由于，当且仅当取等，故的最小值是．
D. 当，，且时，由于，，又，当且仅当，取等，故当，，且时，的最小值为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，则 ______．
13.函数的单调递增区间为______．
14.表示与中的较大者，设，则函数的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
集合，．
是实数集，若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
用定义法证明函数在区间上是增函数；
函数的定义域为，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
幂函数的定义域是全体实数．
求的解析式；
若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为．
求的解析式；
设，证明：是奇函数．
19.本小题分
已知函数是上的奇函数，．
求实数，的值；
求函数的值域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
所以或，
又因为，
所以或，
所以或；
由，得到，又，
当时，，所以，
解得，
当时，，满足，所以满足题意，
当时，，所以，
解得，
综上，实数的取值范围为．
16.解：证明：根据题意，设，
则，
又，，，则，，
所以，，
故，
所以函数在区间上是增函数．
根据题意，函数的定义域为，且在区间上是增函数，
由，
则有，解得或，
故实数的取值范围为或．
17.解：因为幂函数，
所以，解得或，
当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去；
当时，，满足题意；
因为在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
当时，恒成立，满足要求，
当时，变形为在恒成立，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
实数的取值范围是．
18.解：因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以，
当时，，当时，，当时，，
所以．
证明：因为，由知，
所以，
当时，，则，
当时，，，
当时，，则，
所以，故，又的定义域为，关于原点对称，
所以是奇函数．
19.解：依题意，，
又，
则，
所以，
经检验满足题意，
故实数，．
由知，任取，，，
则，
因为，，，则，，得到，
所以，即，
所以在区间上单调递减，
所以时，，
令，由，
得到，对称轴为，
当时，在区间上单调递减，此时，，
当时，在区间上单调递增，此时，，
当时，，
时，，
时，，
综上，当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为．
第1页，共1页