2024-2025学年广东省广州一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线为实常数的倾斜角的大小是( )
A. B. C. D.
2.已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
3.如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线：，：，若，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
5.已知向量，，且与互相垂直，则( )
A. B. C. D.
6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数注：素数又叫质数的和”，如在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是( )
A. B. C. D.
7.对于任意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“小球为红色”，则下列说法错误的有( )
A. 发生的概率为 B. 与互斥
C. 与相互独立 D. 发生的概率为
10.设，为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值是
B. 三棱柱的外接球的表面积是
C. 当点是线段的中点时，三棱锥的体积是
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是______．
13.已知两点，，是直线外一点，则点到直线的距离______．
14.如图，正方形和正方形的边长都是，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，，分别是，上的动点，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三角形的三个顶点，，．
求边的中垂线所在直线的方程；
求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题：
证明：直线平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分．
求乙、丙各自闯关成功的概率；
求团体总分为分的概率；
若团体总分不小于分，则小组可参加复赛．求该小组参加复赛的概率．
18.本小题分
在中，为直角，，点，分别在边和上，且，，如图甲将沿折起到的位置，使，点在棱上，如图乙．
求证：平面；
若是的中点，求与平面所成角的大小；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在正四棱锥中，，且．
求正四棱锥的体积；
若为侧棱上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值；
若点是侧棱包含端点上的一个动点，当直线与平面所成角最大时，求：的值．
参考答案
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15.解：，
，中点坐标．
边的中垂线所在直线的方程：，即．
故BC边的中垂线所在直线的方程为：．
，，
边所在直线方程为：，即．
点到直线的距离为：．
，，
，
，
故求的面积为．
16.解：证明：取的中点，连接，
，，
，
，，，
平面平面，
平面．
为的中点，
点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
而点到平面的距离，即为点到平面距离．
作于，连接，过点作于点，
，，
平面，，
，平面，
底面是边长为的菱形，底面，，
为的中点，为的中点，，
，，
线段的长就是点到平面的距离，
，
，
即到平面的距离为，
故点到平面的距离是是．
17.解：三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为
乙丙独立闯关，
根据独立事件同时发生的概率公式得：
解得．
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为．
团体总分为分，即甲、乙、丙三人中恰有人过关，而另外一人没过关．
设“团体总分为分”为事件，
则．
即团体总分为分的概率为．
团体总分不小于分，即团体总分为分或分，
设“团体总分不小于分”为事件，
由知团体总分为分的概率为，
团体总分为分，即人都闯关成功的概率为．
所以参加复赛的概率为．
即该小组参加复赛的概率为．
18.解：证明：在图甲中，，，，
在图乙中，，，
又，，平面，平面，
平面，，
又，，，平面，
平面．
由可如图建立空间直角坐标系，则：
，
，
设平面的法向量为，
则，则
令，得设与平面所成角的大小为，
则，
，
即与平面所成角的大小为．
，
设，则，
设平面的法向量为，
则，则
令，得，
由题知，
解得或，
的值为或．
19.解：设和相交于点，取的中点为，连接，，则，
因为，所以的夹角即为的夹角，
所以，
所以，
所以，
故正四棱锥的体积．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为在上，且平面，
所以平面的一个法向量为，
又平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
设，，则，
解得，
所以，
由知，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则，，
因为，所以当时，取得最大值，此时直线与平面所成角最大，
所以，即：的值等于．
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