2024-2025学年广东省广州市真光中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市真光中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
2.在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则( )
A. B. C. D.
3.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则( )
A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件
C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件
4.如图，以等腰直角的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是( )
A.
B.
C.
D. 平面的法向量和平面的法向量互相垂直
5.若直线沿轴向左平移各单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来的位置，则该直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.点是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为，当点在第一象限时，点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线：，则下列说法错误的是( )
A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为
C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为 D. 曲线上任意两点间最大距离
8.已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则每个个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是
C. 已知某班共有人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，则小明成绩是全班数学成绩的第百分位数
D. 甲班和乙班各有学生人、人，甲班的数学成绩的平均数为分，方差为，乙班的数学成绩的平均数为分，方差为，那么甲班和乙班这人的数学成绩的方差是
10.已知直线：与圆：，则( )
A. 直线与圆相离 B. 直线与圆相交
C. 圆上到直线的距离为的点共有个 D. 圆上到直线的距离为的点共有个
11.在长方体中，，，点满足：，其中、、，下列结论正确的是( )
A. 当，时，到的距离为
B. 当时，点到平面的距离的最大值为
C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从、、中任取三个不同的数，则取出的三个数可作为三角形三边边长的概率为______用表示
13.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为______．
14.已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之差为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求边上的中线所在直线的方程；
求的面积；
若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．
16.本小题分
如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点．
求长度；
求异面直线与所成的角的大小．
17.本小题分
在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、丙首先比赛，乙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为．
求丙连胜四场的概率；
求需要进行第五场比赛的概率；
甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，，且，点的轨迹为．
求的方程；
求证：当，是轴正半轴上的两个不同点，且时，为定值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
若直线与都在平面内，求平面的方程；
在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，为偶数，，为奇数
13.
14.
15.解：由，．
所以，
所以边上的高所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的方程，
即；
，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以；
因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
当直线与平行，
因为，且过点，
所以方程为，即，
当直线通过的中点，
所以，
所以的方程为，即．
综上：直线的方程为或．
16.解因为，
所以，
所以；
因为，
则，
即，
故异面直线与所成的角的大小为．
17.解：丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”，
所以丙连胜四场的概率：；
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
而甲、丙连胜四场的概率为，
乙上场后连胜三场获胜的概率为，
需要进行第五场比赛的概率；
三人中乙最终获胜的概率最大．理由如下：
记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输，
记事件：甲赢，记事件：赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，
甲赢的概率为，
由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，
即丙最终获胜的概率也是，
所以乙赢的概率为，
又，所以三人中乙最终获胜的概率最大．
18.解：由已知可得，，
，，
化简可得的方程为．
证明：当，是轴正半轴上的两个不同点，
则，，且，，，
，，
，
又，，
为定值．
19.解：由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，
则，则，即，
解得，
取，则，
易知直线过点，
所以平面的方程为，
即．
根据题意，设点，则，
因为平面以为法向量，
则，
又因为点在平面内，则，
联立可得，，故点的坐标为．
如下图所示：
易知多面体交各坐标轴于点、、、、
、，
正方形的边长为，
所以，正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，
则，
所以多面体的体积为，
易知平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以，，
因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．
第1页，共1页