2024-2025学年陕西省西安市陕西师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西师大附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知点在抛物线：上，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的焦距为，则的长轴长为( )
A. B. C. D.
4.如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，，两两垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，方程表示的曲线可以是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 两条直线
10.在正方体中，，分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为定值
C. 平面平面
D. 点到平面的距离为定值
11.已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点，，三点的圆的标准方程为______．
13.如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点，则 ______．
14.已知实数，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，直线：．
证明：不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点；
求直线被圆截得的线段的最短长度以及此时实数的值．
16.本小题分
已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记点的轨迹为曲线．
求的方程；
若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由．
17.本小题分
如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
求证：平面；
若，求二面角的大小；
若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，焦距为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆相交于，两点，且．
求证：的面积为定值；
椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.证明：已知圆：，直线：，
圆：，即，
所以，圆的半径，
直线：，即，
由，解得，所以直线过定点，
又，
故点在圆内，且直线过定点，
所以不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点；
解：直线被圆截得的线段的最短长度时，即圆心到直线的距离最大时，且直线过定点，
所以圆心到直线的最大距离为，此时弦长为，
且此时垂直直线，设直线的斜率为，直线的斜率：，
则，得到，所以，解得，
直线被圆截得的线段的最短长度为，实数的值为．
16.解：因为点，，动点满足直线与的斜率之积为，
所以，显然且，
所以的方程为且；
设，在曲线上，且中点为，
则且，，
所以，
所以直线为，即，
联立，可得，
所以或，当时，其与，且，矛盾，故不符合题意，
综上所述，不存在满足题意的直线的方程．
17.解：证明：设，连接，，
矩形中是线段的中点，是线段的中点，
，，
为平行四边形，
，
又不在平面内，在平面内，
平面；
由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
平面平面，，
平面，
以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，当时，
则，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设二面角的平面角为，则，
二面角的大小为；
因为点在线段上，而，设，则，从而点的坐标为，
于是，而，
则由可知，，即，
，解得，故的最大值为．
18.解：由题意知，焦距，故，
又，故，
所以，
故椭圆的方程为．
证明：由消去，化简得：，
设，，
则，
，，
故，
因为，
所以，
所以，
坐标原点到直线的距离为，
所以的面积为，
故的面积为定值．
假设存在椭圆上的点，使得为平行四边形，则，
设，则，
又因为，即，得，
与矛盾，
故椭圆上不存在点，使得为平行四边形．

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