2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，是两个不同的平面，是直线，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既充分也不必要条件
2.已知乘积展开后共有项，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，正六棱柱中，是一个顶点，是除外的其余个顶点，则的不同值的个数为( )
A.
B.
C.
D.
4.在长方体中，，：，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：无论取何值，都存在点，使得；无论取何值，都不存在点，使得直线平面则( )
A. 成立，成立 B. 成立，不成立
C. 不成立，成立 D. 不成立，不成立
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若，则 ______．
6.若球的半径为，则此球的表面积是______．
7.已知，，若，则 ______．
8.若直线平面，直线平面，则直线与的位置关系为______．
9.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是______．
10.若正四棱柱的底面边长为，高为，则直线与平面所成角的正切值是______．
11.某学校要从名男生和名女生中选出人担任进博会志愿者，则所选人中男女生都有的选法有______种用数字作答
12.在正方体中，二面角的大小为______．
13.正四棱锥底面边长为，侧棱长为，则其体积为______．
14.从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”满足，则这样的“五位凹数”的个数为______用数字作答
15.若，
则正整数的个位数为______．
16.如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底
面上的动点，是中点，，则的最小值是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
名男生和名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目．
学生甲不在最左边；
名男生必须排在一起．
18.本小题分
已知在的二项展开式中．
若，求展开式中含项的系数；
若展开式含有常数项，求最小的正整数的值．
19.本小题分
某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
求这种“笼具”的体积结果精确到；
现要使用一种纱网材料制作个“笼具”，该材料的造价为每平方米元，共需多少元？结果精确到元
20.本小题分
杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图为杨辉三角的部分内容，图为杨辉三角的改写形式．
求图中第行的各数之和；
从图第行开始，取每一行的第个数一直取到第行的第个数，求取出的所有数之和；
在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为：：？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
证明：；
线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由；
点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.平行或异面
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：名男生和名女生站成一排拍照，若学生甲不在最左边，
则先排最左边有种排法，
剩下的人的全排列有种排法，
则学生甲不在最左边有种排法；
利用捆绑法，先将名男生捆绑有种方法，
再把三名男生作为一个整体与四名女生进行全排列有种方法，
则名男生必须排在一起有种排法．
18.解：当时，，
此时展开式的通项为，
令，解得，
展开式中含项的系数为；
，
由，得，
则最小的正整数的值为．
19.解：根据题意可知这种“笼具“的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积，
由圆柱的底面周长为可知，底面圆半径为，
又高为，所以圆柱体积为，
由圆锥的母线长为可知圆锥的高，
因此圆锥体积为，
所以这种“笼具“的体积为；
易知制作个“笼具“所使用的纱网材科面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和，
圆柱侧面积为，圆柱上底面面积，
圆锥侧面积为，
因此制作个“笼具“需要的网材料面积为，
根据材料的造价为每平方米元，可知共需元．
20.解：第行的各数之和为：；
杨辉三角中第行到第行各行第个数之和为：
；
存在，理由如下：
设在第行存在连续三项，，，其中且，且，
有且，化简得且，
即，解得，，
，，．
故这三个数依次是，，．
21.解：证明：在四棱锥中，
面，面，面，
，，在直角梯形中，，，
又面，面，
面，又面，
；
由题意及得，存在一点，使得直线垂直平面，
在四棱锥中，，，
建系如图所示，根据题意可得：
，，，，，
，，，
设，，
又点在线段上，，
，
，，
若面，
则，
解得，
，
；
由题意及可得：，，，
设，
，
，
设，则，
又，，
，
当时，，此时取得最大为，
又在上单调递减，
当最大时，直线与所成的角取得最小，
又，，
故所求线段长为．
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