2024-2025学年山东省青岛市四区（城阳、黄岛、即墨、胶州）高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛市四区（城阳、黄岛、即墨、胶州）高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式为，则该数列是( )
A. 摆动数列 B. 递减数列 C. 递增数列 D. 常数数列
2.已知数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第枚正面朝上”，“第枚正面朝上”，则与的关系为( )
A. 相互独立 B. 互为对立 C. 互斥 D. 相等
4.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
6.已知事件，互斥，，都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知为等差数列，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某地区组织高中创新作文大赛，从名考生的参赛成绩中随机选取个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分以上视为优秀，则( )
A. 的值为 B. 抽取的考生中成绩在区间有人
C. 名考生中约有名成绩优秀 D. 估计考生成绩的平均分小于中位数
10.已知数列满足，则( )
A. 数列为等差数列 B.
C. D. 数列的前项和为
11.连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为，第二次向上的点数为，设，其中表示不超过的最大整数，则( )
A. B.
C. 事件与互斥 D. 事件与相互对立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，，，则的通项公式为______．
13.袋中装有形状大小完全相同的个小球，其中个白球，个红球，个黄球先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得、、分，则两次得分之和为分的概率为______．
14.质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为______，经过次移动到达点的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
已知空气质量指数不超过为“优良”等级，某市统计了天的空气质量指数，并将数据整理如图表：
空气质量指数 频数天 频率
合计
请根据以上信息，解答以下问题：
直接写出，，的值，并把频率分布直方图补充完整；
估计该市这天空气质量指数的平均数；
在选取的样本中，从空气质量指数在区间的两组指数中按分层抽样抽取个，再从这个中抽取个，求这个空气质量指数都是“优良”等级的概率．
17.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
若数列的前项和为，求证：．
18.本小题分
甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响．
若甲队先主场后客场，且，
求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
(ⅱ)求甲队获得冠军的概率；
除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
19.本小题分
已知数列满足，，且对于每个，至少有一个或仍是中的项．
若，，求和；
若，，求；
若的最后一项为，求数列的前项和．
参考答案
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15.解：由，是公差为的等差数列，可得，
当时，，解得，
由，当时，，
两式相减可得，
化为，
则，可得，对也成立，
则，；
，
数列的前项和，
，
两式相减可得，
化为．
16.解：由题意，，，补充直方图如下：
由直方图得，该市这天空气质量指数的平均数为：
；
由题意，与得频数之比为：，
所以区间的两组指数中按分层抽样抽取个，区间中有个，区间中有个，
“优良”等级为区间中的个数据记为，，，，区间中的个数据记为，，
从这个抽取个所有可能的情况为，，，，，，，
，，，，，，，共种情况，
其中空气质量指数都是“优良”等级有种，
故这个空气质量指数都是“优良”等级的概率为．
17.证明：由，，可得，
即有，
则数列是首项和公比均为的等比数列；
由可得，即有，
当时，；
当时，，
则．
综上可得，．
18.解：记甲队通过点球大战获得冠军为事件，
则事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
甲队通过点球大战获得冠军的概率为：
，
，
，
甲队通过点球大战获得冠军的概率为．
记甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
甲队获得冠军的概率为：
，
将代入，得，
甲队获得冠军的概率为．
由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队胜，甲队平同时点球胜，
，
，，
此时满足题意，
，
，，，
，
“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
19.解：由题知，，所以，故，
又所以．
同理，故，又，
所以，解得，
故得：，；
由知，或者，
当时，，
当时，，此时，或，
即，或，
经验证，当时，，，
此时数列不合题意；故时符合要求，此时的值为；
由知，又因为，
所以，
又因为，所以，，
所以，，，，
所以．
又因为的最后一项为
所以．
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