2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与直线互相垂直，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，空间四边形中，，点在上，且，
点为中点，则( )
A. B.
C. D.
4.点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是( )
A. B. C. D.
5.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若实数，满足，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
8.从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于曲线：，下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示两条直线，则，或，
B. 若曲线表示圆，则
C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线表示双曲线，则
10.已知圆：，则( )
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在个点到直线的距离都等于
C. 若圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为
11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为，则下列结论正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于，两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则面积为______．
13.已知、为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于、的任意一点，直线、的斜率分别为，，若椭圆离心率为，则为______．
14.如图，在棱长为的正方体中，在正方形及其内部上运动，若，则点的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：．
若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；
若，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值．
16.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，二面角为直二面角．
求证：；
当时，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
求椭圆和其“准圆”的方程；
若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
18.本小题分
已知为坐标原点，圆：，直线：，如图，直线与圆相交于在轴的上方，两点，圆与轴交于，两点在的左侧，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面平面与轴负半轴和轴所确定的半平面平面互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
若．
(ⅰ)求三棱锥的体积；
(ⅱ)求二面角的余弦值．
是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸如图：
步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点即折叠后图中的点与点重合；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕．
现取半径为的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
求的方程；
设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点直线、的斜率分别为、．
(ⅰ)求证：为定值；
(ⅱ)证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
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15.解：根据题意，设，的中点为，
则，可得，
将代入圆：，得．
化简得，即为线段的中点的轨迹方程；
设圆心到直线、的距离分别为、，
由，可得，
所以，且，．
四边形的面积，
当且仅当，且时，取等号．
所以四边形面积的最大值为．

16.解：证明：由于底面是边长为的正方形，则，
由于二面角为直二面角，则平面，
由于平面，则，又，，、平面，
则平面，由于平面，则．
取中点，连、，由知，由于二面角为直二面角，
则平面，于是，由于底面是边长为的正方形，则，
，于是，同理，于是，又，设到平面距离为，则由得：，于是解得：，故直线与平面所成角的正弦值为：．
17.解：因为椭圆的一个焦点为，
所以，
因为椭圆短轴的一个端点到点的距离为，
所以，
则，
故椭圆的方程为，其“准圆”方程为；
不妨设，
因为点为椭圆上的一个动点，
所以，
不妨设，，
此时，，
所以，
因为，
所以，
则的取值范围是．
18.解：若，折叠前直线的方程为，
联立，解得或，
，，
折叠后三棱锥的体积为：
．
易知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
为平面的一个法向量，
设二面角的大小为，由题可知为锐角，
，
故二面角的余弦值为．
设折叠前，，圆心到直线的距离为．
则，
直线与圆方程联立，得，整理，得，
则，，
设，在新图形中的对应点分别为，，，，
．
若折叠后的长度与折叠前的长度之比为，
则，解得，
故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为．
19.解：因为，
所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆，
焦距，
此时，
则轨迹方程为；
证明：不妨设，，，
由题可知，，
则，，
因为，
所以，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，解得，
故为定值；
证明：不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
由知，
即，
整理得，
解得或舍去，
所以直线的方程为，
故直线经过定点．
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