2024-2025学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
2.已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第 象限( )
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为用计算器进行模拟实验产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一年内需要维修，其概率为，由于有台设备，所以每个随机数为一组，代表台设备一年内需要维修的情况，现产生组随机数如下：
据此估计一年内这台设备都不需要维修的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
5.现有一段底面周长为厘米和高为厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行厘米爬行到达点，则此时线段长单位：厘米为( )
A. B. C. D.
6.概率论起源于博弈游戏世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定：各出赌金枚金币，先赢局者可获得全部赎金但比赛中途因故终止了，此时甲赢了局，乙赢了局问这枚金币的赌金该如何分配数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( )
A. 甲枚，乙枚 B. 甲枚，乙枚
C. 甲枚，乙枚 D. 甲枚，乙枚
7.在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点，分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱，，分别交于，，，设四面体的体积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中是真命题的是( )
A. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
B. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
C. 若，则，是锐角
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点不共面
10.下列命题正确的是( )
A. 设，是两个随机事件，且，，若，则，是相互独立事件
B. 若，，则事件，相互独立与，互斥有可能同时成立
C. 若三个事件，，两两相互独立，则满足
D. 若事件，相互独立，，，则
11.平面内到两个定点，的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是( )
A. 点的轨迹的方程是
B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是
C. 直线与点的轨迹相离
D. 已知点，点是直线：上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为的概率为 ．
13.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ．
14.在空间直角坐标系中，，，，，，为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
“体育强则中国强，国运兴则体育兴”为备战年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中环、中环或环、中环或环、其他情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励分、分、分、分假设评定为等级，，的概率分别是，，．
若某射击选手射击一次，求其得分低于分的概率
若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为分的概率．
16.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
求边所在直线的方程
求的面积．
17.本小题分
如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和上分别有一点和且，，其中
求证：，，共面
若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．
求点的轨迹方程
点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为，两点，为直线上的动点，直线，与曲线的另一个交点分别为，，求的最小值．
19.本小题分
对于三维向量，定义“变换”，其中，，，记，．
若，求及
证明：对于任意，必存在，使得经过次变换后，有
已知，，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
参考答案
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13.
14.略
15.解：设事件，，，分别表示“被评定为等级，，，”
由题意得，事件，，，两两互斥，所以 ，
又因为得分低于分，所以 ，
因此得分低于分的概率为；
设事件，，，表示“第 次被评定为等级，，，”，，．
则“两次射击得分之和为分”为事件，且事件，，互斥，
，
，
所以两次射击得分之和为分的概率
．

16.解：因为，所以设直线的方程为：，
将代入得，所以直线的方程为：，
联立，所在直线方程：解得，
设，因为为的中点，所以，
因为在直线上，在上，
所以，，
解得，，所以，，
所以所在直线的方程为：，即．
由知点到直线的距离为：，
又，
所以．
17.解：证明：因为，
，
所以．
由共面向量定理可知，，，共面．
取的中点为，在中，，，
由余弦定理可得，所以，
依题意，均为正三角形，所以，，
又，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
所以在平面内作，则平面，
以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
设是平面的一个法向量，
，，
则，即，
取，得，
依题意可知，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：设动点坐标，因为动点满足，且，，
所以，化简可得，，即，
所以点的轨迹方程为．
曲线中，令，可得，
解得或，可知，，
当直线为斜率为时，即为直径，长度为，
当直线为斜率不为时，设的直线方程为，，，
联立
消去可得：，
化简可得，
由韦达定理可得，
因为，，，，
所以，的斜率为，，
又点在曲线上，所以，
可得，所以，
所以，的方程为，，
令可得，化简可得，
又，在直线上，可得，，
所以，
化简可得，
又，
代入可得，
化简可得，
，
，所以或，
当时为，必过，不合题意，
当时为，必过，
又为圆的弦长，所以当直径时弦长最小，
此时半径，圆心到直线的距离为，
，
综上，的最小值．
19.解：因为 ， ， ，
所以 ．
设 ，
假设对 ，则 均不为．
所以 ，即 ．
因为 ，
所以 ．
所以 与 矛盾，故假设不正确．
综上，对于任意 ，经过若干次 变换后，必存在 ，使 ．
设 ，因为 ，
所以有 或 ．
当 时，可得 三式相加得 ．
又 ，可得 ．
当 时，也可得 ，于是 ．
设 的三个分量为 这三个数，
当 时， 的三个分量为 这三个数，
所以 ．
当 时， 的三个分量为 ，
则 的三个分量为 的三个分量为 ，
所以 ．
所以，由 ，可得 ．
因为 ，所以任意 的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于．
所以 的三个分量只能是 三个数，
的三个分量只能是 三个数．
所以当 时， ；当 时， ．
所以 的最小值为．

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