2024-2025学年浙江省“浙里特色联盟”高一上学期11月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省“浙里特色联盟”高一上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的虚部是
A. B. C. D.
2.已知圆的标准方程为，则圆心坐标为
A. B. C. D.
3.过点且垂直于直线的直线方程为
A. B. C. D.
4.已知，，且，则的值为
A. B. C. D.
5.在四面体中，，，，点在上，且，为的点，且，则等于
A. B.
C. D.
6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为则的标准方程为
A. B. C. D.
7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A. B. C. D.
8.已知为椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，为圆：上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是
A.
B. 椭圆的离心率为
C. 直线被椭圆截得的弦长为
D. 若，则的面积为
10.在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上含端点，则下列命题正确的是
A. 长的最小值为
B. 四棱锥的体积为定值
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 当点、为线段中点时，则为等腰三角形
11.已知直线：，下列说法正确的是
A. 直线恒过定点
B. 直线与直线垂直，则
C. 当点到直线的距离取到最大时，此时
D. 直线与圆所截得的最短弦长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线的倾斜角大小为_________．
13.已知空间向量，，且与互相平行，则实数的值_________．
14.已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求：
顶点的坐标；
直线的方程．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
若直线被圆截得弦长为，求实数的值．
17.本小题分
如图，正四棱柱中，设，，点在线段上，且．
求三棱锥的体积；
直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知为坐标原点，椭圆：过点，且离心率为，斜率为的直线交椭圆于，两点．
求椭圆的方程；
记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中为坐标原点．
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
若点，，求的最大值；
已知点，是直线：上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：边上的高所在直线方程为，
，且，
．
的顶点，
直线的方程：，即．
联立方程 解得
顶点的坐标为．
所在直线方程为，
故设点的坐标为，
是的中点，，
．
在所在直线上，
，解得，
点坐标为，
由知点的坐标为，
故直线的方程为，即．

16.解：由题意可得，，
所以中垂线斜率为，
中点为，
所以的中垂线方程为，即，
由，
所以圆心为，半径，
所以圆的标准方程为：；
弦长，
所以圆心到直线的距离，
，
解得或．
17.解：
建立如图所示的空间直角坐标系，，，，
，，，
设平面的法向量为则，
令，得，，则，
，．
18.解：由题意可得：，而
，，椭圆方程为
设直线的方程为，，，
由，得，
，即，
则，，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
又，，所以
，
所以，
则当即时，取最大值为
19.解：
，
设，，即，
其表示的图形是如图所示的正方形，
即点在正方形的边上运动
，，，，，
当，最小，即，最大时，最大．
此时，点在点处，，，
，
易知，
设，则，
当时，，
则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又，且恒成立，当且仅当时等号成立，
综上，满足条件的直线有且只有两条，和．
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