2024-2025学年江西省南昌三中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌三中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列各组函数表示相同函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.满足关系的集合的个数是( )
A. B. C. D.
5.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知函数，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为为常量，油面高度为，油面宽度为，储油量为为变量，则下列说法：是的函数；是的函数；是的函数；是的函数，其中正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知，，且，则( )
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，设函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的值域为
C. D. 在上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集是：______．
13.函数的值域为______．
14.定义，若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记全集，已知集合，．
若，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知幂函数为偶函数．
求的解析式；
若在区间上单调，求实数的取值范围．
求不等式的解集．
17.本小题分
已知定义在上的函数满足：．
求函数的表达式；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知定义在上的函数满足，且当时，．
求的值；
求证：在上是增函数；
若，解关于的不等式．
19.本小题分
若函数的定义域为集合，若在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
如果的图像关于原点对称，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：因为，
所以，．
所以；
因为或，
又，
所以，解得．
故的取值范围为：．
16.解：根据题意，函数为幂函数．
则，解得或，
时，为奇函数，舍去；
时，为偶函数，符合题意，
所以，．
根据题意，，
若函数上单调，则有，解得或，
所以实数的取值范围是或．
根据题意，不等式，
即，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
17.解：将中的替换为得，
联立，
解得；
不等式，即为，化简得，
要使其在上恒成立，则，
，
当且仅当取得等号，
所以．
即的取值范围是
18.解：令，得．
证明：在上任取，则，所以．
又，
所以函数在上是增函数．
由，得，．
由得．
因为函数在上是增函数，
所以，解得或．
故原不等式的解集为或．
19.解：是区间上的增长函数，理由如下：
因为，；
不是区间上的增长函数，理由如下：
反例：当时，．
由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，
要保证对恒成立，则，
即，解得，
所以满足题意的最小正整数为．
根据题意，当时，，当时，，
因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以，
若是上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
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