2024-2025学年重庆十一中教育集团高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆十一中教育集团高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线过，两点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.若平面的法向量为，方向向量为的直线与平面垂直，则实数( )
A. B. C. D.
3.圆心为且过原点的圆的一般方程是( )
A. B.
C. D.
4.椭圆和具有( )
A. 相同的离心率 B. 相同的焦点 C. 相同的顶点 D. 相同的长、短轴
5.如图，三棱锥中，，，，点为中点，点满足，则( )
A.
B.
C.
D.
6.若圆：与圆有公切线，则实数的范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则代数式的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，直线：，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则
C. 直线过定点
D. 若直线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是( )
A. 四叶草曲线有四条对称轴
B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D. 四叶草曲线的面积小于
11.已知正方体棱长为，动点满足，则( )
A. 当，时，则三棱锥的体积为
B. 当，时，直线平面
C. 当，时，直线平面
D. 当且时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两平行线：与：之间的距离为______．
13.在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．
14.已知，为椭圆上的动点，直线与圆：相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点坐标分别为，，．
求边的垂直平分线的方程；
求三角形的外接圆方程．
16.本小题分
在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，，，点在侧棱上，且满足．
求证：；
求直线与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
18.本小题分
如图所示的图形中，四边形为菱形，，和均为直角三角形，，，现沿和将和进行翻折，使在平面同侧，如图或图
证明：平面；
如图，若平面，求点到平面距离；
如图，若二面角为时，判断平面与平面是否垂直？并说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的焦点在轴，离心率，点在直线上．
求实数的值；
设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线为坐标原点的斜率分别为，，证明：；
若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点异于，两点满足，证明：点在定直线上．
参考答案
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15.解：因为，，可得的中点，
，由点法式方程可得的中垂线的方程为：，
整理可得：；
的中点，，
由点法式方程可得的中垂线方程为，
整理可得：，
联立，解得，，
即的外接圆的圆心为，
半径，
所以原点方程为：．
16.解：证明：由题得，以为坐标原点，以，，方向分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设，则，，，，
，，
由，
；
由题得，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题可得：，解得：，
所以椭圆的方程为：；
由题，设，，
联立，化简得：，
则，即，
则，，
所以
，
化简得：，
解得：或，
所以，满足，
即的值为．
18.解：证明：由题意，，
平面，平面，
平面，
四边形为菱形，，
又平面，平面，
平面，
又，、平面，
平面平面，又平面，
平面；
由题意：平面，四边形为菱形，，
取中点，连接，可得，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则由，可得，
令，可得，
点到平面的距离；
平面与平面不垂直，理由如下：
由四边形为菱形，，
和均为直角三角形，
，，
取中点，连接，可得，
二面角的平面角为，，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，
过作垂直于底面的轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则由，可得，
令，可得，
设平面的一个法向量为，
则由，可得，
令，可得，
因为，所以与不垂直，
所以平面与平面不垂直．
19.解：设椭圆的焦距为，长轴长为，
由题意知，，解得．
证明：由知，椭圆的方程为，
设 ，，，
则，，
因为，所以，即，
由 在椭圆上，知，
所以．
证明：设，，，
设，则，
所以，，
所以，，，，
由以上式子可得：，，，，
得：，
得：，
得：，
因为，在椭圆上，所以，，
所以，
因为，所以，
即的轨迹方程为，
故点在定直线上．
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