2024-2025学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行六面体中，设，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.设为等差数列的前项和．已知，，则( )
A. 为递减数列 B. C. 有最大值 D.
6.如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7.设为数列的前项和，且，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知底面边长为的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为( )
A. B. C. D.
9.已知等比数列的首项，公比为，记，则“”是“数列为递减数列”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10.如图，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是( )
A. 点与点在某一位置可能重合
B. 点与点的最大距离为
C. 直线与直线可能垂直
D. 直线与直线可能垂直
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知圆锥的侧面展开图是半径为的直角扇形，则此圆锥的表面积为______．
12.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式______．
13.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药片剂，要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用此空填“有”或“无”．
14.如图，在正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为______．
15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且给出下列四个结论：
；
；
对任意的，都有；
存在常数，使得对任意的，都有．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，点、分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：；
Ⅲ求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知等差数列和等比数列满足，，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求和：．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，点在上，且平面．
Ⅰ求证：是的中点．
Ⅱ再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．
条件：；
条件：．
19.本小题分
已知数列满足：，
Ⅰ求证：数列是等比数列；
Ⅱ令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
20.本小题分
如图，在五面体中，四边形 是边长为的正方形，，平面平面，且，，点是的中点．
证明：平面．
若直线与平面所成角的正弦值为，求 的长．
判断线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得．
Ⅰ若，，求；
Ⅱ若，求证：数列中有无穷多项为；
Ⅲ若，求数列的通项公式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或答案不唯一
13.无
14.
15.
16.解：Ⅰ证明：根据题意，如图，取的中点，连接，，
因、分别为、的中点．则，
又，故EC，，即得 ，
则，而平面，平面，
故FC平面；
Ⅱ证明：，，，
则有，由勾股定理可得，
在直三棱柱中，由于平面，平面，则，
故AB且，
又，平面且平面，
故AB平面，
因平面，故AB；
Ⅲ根据题意，如图，
三棱锥的体积，
由Ⅱ，已得平面，
故，
即三棱锥的体积为．
17.解：Ⅰ等差数列，，，可得：，解得，
所以的通项公式：；
Ⅱ由Ⅰ可得，
等比数列满足，可得或舍去等比数列奇数项符号相同，
，
是等比数列，公比为，首项为，
．
18.解：Ⅰ证明：过，，作平面交于，连接，，
由，平面，平面，则平面，
而，面，且平面平面，则，
由平面，同理可证，
所以四边形为平行四边形，故AB，且，
而，，故，，
所以是的中位线，即是的中点．
Ⅱ若选：由平面，且面，故，
又，，，平面，故BC平面，
由平面，则，连接点与中点，
由，则，
又，，故四边形为矩形，故B，，
则，即，则，
由面，，面，故，，又，
故，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
由题知，平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
所以，令，得，，所以，
则，
由图知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
若选：由面，且面，故，
又是中点，故D，
又，则，故CB，
由面，且面，故，
又，且都在面内，故BC面，
由面，则，连接点与中点，后续过程同条件．
19.Ⅰ证明：由题可知：，
，
可得 分
即：，又分
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列分
Ⅱ解：由Ⅰ可得，分
分
由可得
由可得 分
所以，
故有最大值
所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立分
所以
解得或
所以，实数的取值范围是 分
20.证明：因为：，点是的中点，
所以：，
又因为：，
所以：，
由平面平面，平面平面，平面，
所以：平面．
解：由得：平面．
所以：、、两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，四边形是边长为的正方形，
且，，点是的中点．
所以：，，，
设，
则：，，
所以：，，，
设平面的法向量为：，
由，
解得：，
所以：，
直线与平面所成角的正弦值为，
所以：
解得：或，
所以：，或，
解：假设线段上存在一点，使平面，设，
则：，
由，
得：，
设，
则：，
所以：，
设平面的法向量为：，
，
解得：，
由于：平面，
所以：，
即：，
解得：，
所以：，此时，
即当时，平面．

21.解：Ⅰ取，，则存在，使得，即，
，，
．
Ⅱ证明：假设中仅有有限项为，
不妨设，且当时，均不为，则，
取，，
则存在，使得，与矛盾，
故数列中有无穷多项为．
Ⅲ当时，首先证明数列是递增数列，
即证明，恒成立，
若不然，则存在最小的正整数，使得，且，
当，取，，，，，
则存在，使得，
，
，
这个不同的数恰为这项，
与矛盾，
数列是递增数列，
再证明：，，，，，
记，即证，，，，，
当，时，结论成立，
假设存在最小的正整数，使得对任意恒成立，
但，则，
取，，，，，
则存在，使得，
数列是递增数列，
，
这个数恰为，，这项，
与矛盾，
，，，，，
当时，设，则，，且，
对于中任意两项，，，
对任意，，，存在，使得，
，即存在，使得，
因此，数列满足题设条件，
由可知，，，，
，，，，
综上，，，，，，
经检验，数列满足题设条件．
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