2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.直线倾斜角及在轴上的截距分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为( )
A. B. C. D.
4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，，，，，，“点数不大于”，“点数大于”，“点数大于”，下列结论判断错误的是( )
A. 与互斥 B. ，
C. D. ，为对立事件
5.平面上，，三点不共线，设，则的面积等于( )
A. B.
C. D.
6.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米，则当水面下降米后，水面宽为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
7.已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从这个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被整除，事件表示选到的数能被整除，则对下列事件概率描述正确的是( )
A. B. C. D.
10.年，数学家欧拉在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”已知的顶点，，重心，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 为等边三角形
C. 欧拉线方程为
D. 外接圆的方程为
11.在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为( )
A. 若点在平面内，则
B. 若，则
C. 当时，三裬锥的体积为
D. 当时，长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有甲、乙两台机床生产某种零件，甲生产出正品且乙生产出次品的概率为，乙生产出正品且甲生产出次品的概率为，每台机床生产出正品的概率均大于，则甲、乙同时生产这种零件，至少有一台生产出正品的概率是______．
13.设，已知直线：，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．
14.已知直三棱柱，，，为侧棱的中点，过作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元不足小时按小时计算现有甲、乙两人在该场地停车，两人停车都不超过小时．
若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费元的概率；
若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲乙二人停车付费之和为元的概率．
16.本小题分
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深人而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．基于上述事实，完成以下两个问题：
已知，，若，求点的轨迹方程；
已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图所示，三棱柱中，，，，，，，，，，是中点．
用，，表示向量；
在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，，四边形为矩形，线段交于点．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在空间解析几何中，可以定义曲面含平面的方程，若曲面和三元方程之间满足：曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过上一点，且以为方向向量．
指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
证明：直线在曲面上；
若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：甲停车付费元，说明甲停车不超过小时；停车付费多于元，说明停车超过小时．
再根据甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，
可得甲停车付费元的概率为．
设甲乙人的停车时间分别为小时、小时，其中、为正整数，
则所有的共有：、，，，、，，，、，，，、，，，共计个，
其中满足甲乙二人停车付费之和为元的有：、、，共计个，
故甲乙二人停车付费之和为元的概率为．
16.解：设，则，，
故，故，
化简得点的轨迹方程为；
假设存在定点，使得恒成立，设，，
故，，
因为，故，
即，而点在圆上，即，
对照可知，，解得
故存在定点，使得恒成立．
17.解：；
假设存在点，使，设，，
显然，，
因为，所以，
即，
，，，，，，
即，
解得，所以当时，
18.证明：因为四边形为矩形，所以为的中点．连接，
在中，，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：易知，，两两垂直，如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．
则，所以．
设平面的法向量为，
则，不妨，则，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
，据此可得 ，
则平面的一个法向量为，
，
故二面角的正弦值为．
解：设存在点满足条件．由，
设，整理得，
则．
因为直线与平面所成角的大小为，
所以
解得，
由知，即点与重合．
故在线段上存在一点，且．
19.解：根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为，
已知曲面的方程为，
当时，平面截曲面所得交线上的点满足，
即，
也即在平面上到原点距离为定值，
从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，为半径的圆．
设是直线上任意一点，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，，，
所以点的坐标为，
于是，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上．
直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，
所以点的坐标为，
在曲面上，，
整理得，
由题意，对任意的，有恒成立，
，且，
，或，
不妨取，则，或，
，或，
又直线的方向向量为，
则异面直线与所成角的余弦值均为．
第1页，共1页