2023-2024学年山西省运城市康杰中学高二（下）开学数学试卷（含答案）

2023-2024学年山西省运城市康杰中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项和，则的值为( )
A. B. C. D.
2.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.设为等比数列，若，，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5.已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
6.设，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.点在椭圆：上，的右焦点为，点在圆：上，则的最小值为．
A. B. C. D.
8.设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点．，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
10.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过的直线交抛物线于两点，，则( )
A. 的准线方程为
B. 若，则
C. 若，则的斜率为
D. 过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为，则为定值
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极大值点为______．
13.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别为，，，，，则该数列的第项为______．
14.定义在上的偶函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求；
求的单调区间和极值．
16.本小题分
如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点．
证明：．
求二面角的正弦值．
设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
17.本小题分
已知数列的首项为，前项和为，且
求的值；
设，求数列的通项公式；
求数列的通项公式；
18.本小题分
已知，为椭圆：的左、右顶点，且椭圆过点．
求的方程；
过左焦点的直线交椭圆于，两点其中点在轴上方，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，则，
由题意可得，解得；
由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值．
16.证明：以点为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得，，，，，．
则，
而．
所以；
解：，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，．
所以．
由Ⅰ知，又，
且平面平面
所以平面，
故为平面的一个法向量，
于是．
从而．
所以二面角的正弦值为．
解：，
设 ，
有．
取为平面的一个法向量，
设为直线与平面所成的角，
则
．
于是．
解得所以．
所以线段的长为．
17.解：，且，
，解得；
由，
可得：，
当时，，
相减可得：，，
可得：，
变形为，
化为：，
，
则数列是等差数列，首项为，公差为．
；
由可得：，化为：．
，
时时也成立．
．
18.解：由题意得，把代入，
解得，
所以的方程为；
由知：，，
当斜率不存在时，易知；
当斜率存在时，设：，，，
由，得，显然，
所以，，
因为，，
所以，
因为，
所以，
又，
设，则，，解得且，
所以，
因为，可得的取值范围为．
19.解：的定义域是，
，
令，
当时，，
，
，
在单调递增，
当时，，
若，即时，，
，
在单调递减，
若，即时，令，
解得，，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，
综上所述：当时，在单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减，
当时，在单调递减．
解法一：
由题易得，
令，有在为增函数，
原式等价于，即，
即，
令，
由知时，在为减函数，，
，
，
实数的取值范围为．
解法二：
由题易得，
令，有在为增函数，
原式等价于，即，
设对恒成立，
首先，即，
下面证明时，恒成立，
由知，当时，，，
，
实数的取值范围为．
第1页，共1页