2024-2025学年浙江省“钱塘联盟”高二第一学期期中联考数学科试题（含答案）

2024-2025学年浙江省“钱塘联盟”高二第一学期期中联考
数学科试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某学校有男生名、女学生名为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法
2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.在空间直角坐标系中，已知点，则下列叙述中正确的是( )
点关于轴的对称点是
点关于平面的对称点是
点关于轴的对称点是
点关于原点的对称点是
A. B. C. D.
4.已知数据，，，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是( )
A. 中位数不变
B. 平均数不变
C. 若，则数据，，的第百分位数为
D. 方差变小
5.已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则 ．
A. ， B. 与相交，且交线平行于
C. ， D. 与相交，且交线垂直于
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是( )
A. B. C. D.
7.已知，，为球的球面上的三个点，圆为以为直径的的外接圆，若圆的面积为，
，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆，则( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 当时，椭圆的焦点在轴上
C. 椭圆的焦距可能为 D. 椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值
10.某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得分，有错误选项不得分若答案是两项，选对一项得分，选对两项得分，答案是三项，选对一项得分，选对两项得分，选对三项得分”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是( )
A. 甲同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B. 乙同学仅随机选两个选项，能得分的概率是
C. 丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是
D. 丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是
11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，下列三个结论正确的是：( )
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
C. 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为
D. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，则直线的倾斜角为 ．
13.已知直线与圆交于，两点，若面积为，则值是 ．
14.如图，已知矩形，，为线段边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为，则线段的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线．
若直线过点，且，求直线的方程
若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，．
求证：
求的长
17.本小题分
公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆已知平面直角坐标系中，，且．
求点的轨迹方程
过作的切线，求切线方程
若点在的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围．
18.本小题分
将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，，得到几何体，已知，，，分别为，上的动点，且
求的长
证明：平面
当的长度最小时，求直线与平面所成角．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的任一点，的周长为，且椭圆的离心率为
求椭圆的方程
如图，动直线交椭圆于，两点，交轴于点，点关于的对称点是，以为圆心作圆与轴相切，设为的中点，过作圆的两条切线，切点分别为，，求的最小值．
参考答案
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15.解：直线 的斜率 ，
因为 ，所以直线 的斜率为，
所以直线 的方程是 ，即 ；
设直线 ，
则平行线 与 之间的距离 ，得 或 ，
所以直线 的方程是 或 ．

16.解：设，
则．
，
所以，则

17.解：设，则，化简得：，
故点的轨迹方程为
，可化为标准方程圆心坐标为，半径为．
当切线的斜率不存在时，，满足题意；
当切线的斜率存在时，设方程为，即，
圆心到直线的距离，解得，此时切线方程为．
综上所述，所求切线方程为或；
设圆心为，，
则的最大值为，
最小值为．
故的取值范围为．
18.解：在上作中点，连接，，
可得，
．
过作交于，连，
，平面，平面，
平面，
又可得，
同理可得平面，
又，，平面，
平面平面，
平面．
以为轴，为轴，过作面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，，，
，可得，，
，
，
可得当时，最小，此时，
设平面的法向量是，，，
所以
可以取平面的法向量是，
，，
，
直线与平面所成角．
19.解：，
又有离心率是可得，，，
椭圆方程为；
联列椭圆与直线方程，
可得，
化简得到，
于是，
，
，
由，可得，，

，
设，当且仅当时，最小为
为最小值
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