2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高一上期中联考数学试题（A卷）（含答案）

2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高一上期中联考数学试题（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若幂函数的图象如图所示，则
A. B. C. D.
4.已知函数为奇函数，且当时，，则
A. B. C. D.
5.已知函数，且，则
A. B. C. D.
6.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为乙写错了常数，得到的解集为那么原不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.若，其中常数，则
A. B. C. D.
8.已知函数则方程的解的个数为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下表是某市公共汽车的票价单位：元与里程单位：之间的函数，如果某条线路的总里程为，那么下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 函数的定义域是 D. 函数的值域是
10.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；，下列选项成立的是
A. 的单调递增区间为
B.
C. 若，则
D. 若，
11.若，，且，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为________．
13.已知不等式对一切的实数都成立，则的取值范围为________．
14.我们用表示实数到离它最近的整数的距离，例如，，，则的最大值是 ，对于函数，满足，则有 种可能的值．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式：
；
．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间分钟之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点为，且过点；当时，曲线是函数图象的一部分，专家认为，当指数大于或等于时定义为听课效果最佳．
试求的函数关系式；
若学生听课效果不是最佳，建议老师多提问、增加学生活动环节，请问在什么时间段建议老师多提问、增加学生活动环节？
18.本小题分
设函数．
若，求的值；
判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
给定函数，，我们用表示，中的较大者，记为．
若，，请用解析法表示，并求出的最小值．
若，，其中为实数．
(ⅰ)当时，写出的解析式；
(ⅱ)若的图象与轴有交点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.
14.
15.解：原式
原式

16.解：当时，，
，
则
，
，
是的充分不必要条件，
，
显然，
则由解得
17.解：，将代入得，
所以时，，
将代入得
所以时，
所以
，得，
当，得．
所以当这个时间段老师多提问，增加活动环节．
18.解：，，
，又，则．
在区间上单调递减．
证明：，，且，则，
化简得，
由，得，，，
，于是，即
在区间上单调递减．
设，由知，，
将其代入，得，
化简得恒成立，
设，则在上恒成立即．
与在上单调递增，在上单调递增，
，，
实数的取值范围是
19.解：设
当时，当，，
令，得或
当时，．
故当时，
当时，．
故
当时，有最小值时，．
综上，的最小值为．
设，
当时，，在上是增函数，在上是减函数，且，
故当时，当时，，
所以
令，在上是增函数，在上是减函数，
当时，，恒成立，故，
此时图象与轴无交点
当时，，即，故，
由函数图象可知，与轴有交点
当时，，令，解得，
结合图象可知，当时，当时，，
故
则，即图象与轴有交点．
综上，的取值范围为
第1页，共1页