湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题（含解析）

湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题
时量：120分钟 满分：150分
得分：______
一、选择题（本大题共8个小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）
1.已知集合，则
A： B. C. D.
2.命题“”的否定为
A. B.
C. D.
3.若幂函数的大致图象如图所示，则
A. B. C.2 D.1
4.下列各组函数表示同一函数的是
A. B.
C. D.
5.已知函数，且，则
A.2 B.7 C.25 D.44
6.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为，乙写错了常数，得到的解集为，那么原不等式的解集为
A. B. C. D.
7.已知，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.函数的值域为
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9.下表是某市公共汽车的票价（单位：元）与里程（单位：km）之间的函数关系，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是
2 3 4 5
A. B.若，则
C.函数的定义域是 D.函数的值域是
10.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是
A.的单调递增区间为 B.
C.若，则 D.若，则
11.若，且，则下列说法正确的是
A.的最大值是 B.ab的最小值是8
C.的最小值是 D.的最小值是32
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12.函数的定义域为______．
13.已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围为______.
14.已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.（13分）已知1，b为方程的两根．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式的解集（最终结果用集合的形式表示）.
16.（15分）已知集合.
（1）当m=1时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17.（15分）2024年10月29日，小米SU7 Ultra量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为100台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且.
（1）当产能不超过40台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；
（2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？
18.（17分）已知函数.
（1）判断是否有奇偶性，并说明理由；
（2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明；
（3）若方程在上有解，求的取值范围.
19.（17分）对于一个集合，如果，且，记为去掉x，y后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合．回答下列问题：
（1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；
（2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数．
2024年秋季高一期中联考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A A C B D B A ACD AD BCD
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）
1.C【解析】结合数轴易知正确答案是C.
2.A【解析】根据全称量词命题的否定原则，本题答案为A.
3.A【解析】根据幂函数定义可知，，解得或，结合函数图象可知.
4.C【解析】A选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，且对应的函数解析式也不同，故A错误；B选项，，故定义域为：，由可得定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故B错误；C选项，两函数定义域均为，虽然字母不同，但函数对应关系均相同，故为同一函数，故C正确；D选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故D错误；故选：C.
5.B【解析】由函数，可得，所以函数的解析式为-6，所以，解得.
6.D【解析】甲的常数正确，由韦达定理可知，故，乙的常数正确，故，故．所以原不等式为，即，解集为．
7.B【解析】设，所以解得所以，又，所以，故，故选B.
8.A【解析】根据题意当时，，令，可得，所以，因此可得，由二次函数性质可得当时，取得最大值，此时的值域为；当时，，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为20，因此的值域为[20，；综上可得，函数的值域为，故选A.
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.ACD【解析】，选项A正确；若，则，选项B错误；函数的定义域为（0，20]，选项C正确；函数的值域是，选项D正确．
10.AD【解析】由条件①可知该函数为偶函数，由条件②可知该函数在）上单调递减，由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，选项A正确；，因为函数在上单调递减，所以，即，选项B错误；由，有，即，选项C错误；，当时，函数在上单调递减，，即时；当时，函数在上单调递增，，即时，所以，选项D正确.
11.BCD【解析】选项，当且仅当时取等号，即的最小值是，选项A错误；选项B，由，可得，当时等号成立，，即的最小值是8，B选项正确；选项C，法，由A知的最小值是，法，当且仅当时等号成立，选项C正确；选项D，法，当时取等号成立，而，也是当时取等号成立，即，当时等号成立，故的最小值是32，法2：，选项D正确.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.【解析】且.
13.（【解析】当时，成立；当时，，解得，综上可得.
14.【解析】由题意可得，且区间中有4个整数，易知任意区间的区间长度为，当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数；
当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意；
当时，的区间长度大于3，
若的区间长度，即，
若是整数，则区间中含有4个整数，
根据可知，则，
此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意；
若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数，
则必须有且，解得；
若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意；
若时，的区间长度，
此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即，结合，得；
综上所述，或或，故答案为：.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1）由题意得1，b为方程的两根，且，……………………1分
由韦达定理可得，……………………………………………………………………3分
解得；……………………………………………………………………………………5分
（2）由（1）得，则，………………9分
等价于，解得，…………………………………………………11分
故不等式的解集为.………………………………………………………………13分
16.【解析】（1）当时，…………………………2分
，………………………………………………………………………………5分
或………………………………………………………………………………6分
或.……………………………………………………………7分
（2），…………………9分
，…………………………………………………………………………10分
是的充分不必要条件，，………………………………………………12分
显然，则由解得．………………………………………15分
17.【解析】（1）由题意可得当时，，……………………1分
设每台的平均利润为，……………5分
当且仅当时取等号……………………………………………………………………………6分
故当生产10台时，每台的平均利润最大．…………………………………………………………7分
（2）当时，，当时，取最大值，（万元）；……………………………………………………………………………………………………9分
当时，，
…………………………………………12分
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为……14分
故当生产该设备为35（台）时所获利润最大，最大利润为2250（万元）．…………………………15分
18.【解析】（1）：由题意可得的定义域为，不关于原点对称，故无奇偶性，为非奇非偶函数．………………………………………………………………………………………2分
（2）在上单调递增，证明如下：任取，且……………………3分
则，…………………………………………………5分
故……8分
所以，，故在上单调递增.………………………………………………9分
（3）由方程在上有解，可转化为，在上有解．……………………………………………………………………………………………11分
令，则转化为方程在上有解，
设，则其图象开口向上，对称轴为，………………………………13分
①若，即，所以，
所以；…………………………………………………………………………………………15分
②若，即，所以，所以；
综上所述：的取值范围为．…………………………………………………………………17分
19.【解析】（1）1或5（写出一个即给4分），给集合增加一个元素1或5得到集合或，由题意可得或均为梦想集合．…………………………………………………5分
（2）不是，……………………………………………………………………………………………………6分
证明如下：设，取…………………………………………………7分
由于为偶数，则．……………………………………………………………………………8分
记为集合去掉元素x，y后构成的集合，而，易得，
且，…………………………………………………………………………………………10分
故不是梦想集合．…………………………………………………………………………………………11分
（3）利用反证法：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，则设，且，……………………………………………………12分
因为，设为集合去掉元素后构成的集合，所以只能考虑这个数均属于，且各不相同，均小于，所以……………………………………………………………………………………13分
再考虑与，因为，所以，即，所以只能；………………………………………………………………………………14分
又因为这个数均属于，且均小于，所以中与其对应，故……………………………………………………………………………16分
即，而去掉后的集合为，且，
故矛盾，所以不为梦想集合．……………………………………………………………………………17分
【评分细则】第（3）小问若用其他方法证明只要逻辑正确均酌情给分．