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第6章 平面图形的初步认识 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 道里区校级月考）下列图形中与是对顶角的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 启东市校级月考）下列叙述正确的是
A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线
C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短
3．（2023秋 高新区期末）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是
A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．线段是直线的一部分
4．（2023秋 泗洪县期末）如图，，，点，，在同一条直线上，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2022秋 海陵区校级期末）下列说法正确的是
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
6．（2022秋 太康县期末）如图，若，，那么等于
A． B． C． D．
7．（2023秋 江都区期末）如图，点、、在线段上，若，，则图中所有线段长度之和为
A． B． C． D．
8．（2023秋 启东市期末）定义：若两个角差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如：，，，则和互为“优角”．如图，已知，射线平分，在的内部，若，则图中互为“优角”的共有
A．6对 B．7对 C．8对 D．9对
二．填空题（共10小题）
9．（2024 船营区一模）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 ．
10．（2024秋 濠江区月考）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ．
11．（2023秋 文山市期末）一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是 ．
12．（2023秋 临江市期末）时间为时，钟面上时针与分针的夹角的度数为 ．
13．（2023秋 兴化市期末）如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是 ．
14．（2024秋 武进区期中）如图，点是的平分线上一点，在上，且．若，则的大小为 ．
15．（2023秋 东莞市期末）已知线段，直线上有一点，且，的长为 ．
16．（2024春 凉州区期中）已知直线及其外一点，过点作，过点作，点，分别为直线，上任意一点，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是 ．
17．（2024秋 南岗区校级月考）如图，点在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ．
18．（2024春 通河县期末）如图，已知，，，，则 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2022春 江阴市校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2023秋 江都区月考）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）连接并延长到，使得；
（4）在线段上取点，使的值最小．
21．（2024秋 市南区校级期中）如图，于点，于点，，试说明．请补充完整下面的说理过程：
解：，理由如下：因为，，
所以① ，
所以，所以② ，
所以③ ，
又因为（已知）所以④ （等量代换），
所以⑤ ．
22．（2024春 鼓楼区校级月考）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
请根据图形写出已知、求证及证明．
已知：
求证：
证明：
23．（2024秋 金湖县期中）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，四边形的对角线有2条．
（1）在图2、图3中分别画出五边形、六边形的对角线，并写出五边形、六边形各有几条对角线；
（2）随着多边形边数的增加，其对角线的条数随之变化，则边形的对角线有 条．
．；．；．；．．
24．（2023秋 广陵区校级月考）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求：
（1）求的长度；
（2）求的长度；
（3）若在直线上，且，求的长度．
25．（2024秋 吴忠期中）（1）如图1，已知，，求证：；
（2）如图2，已知，，，求证：．
26．（2023秋 广陵区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．
（1）如图①所示，已知，，是的内半角，则 ．
（2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
（3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
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第6章 平面图形的初步认识 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 道里区校级月考）下列图形中与是对顶角的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、两个角的两边不互为反向延长线，故、不符合题意；
、两角没有公共顶点，故不符合题意；
、两角是对顶角，故符合题意；
故选．
2．（2023秋 启东市校级月考）下列叙述正确的是
A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线
C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短
【答案】
【解析】．线段可表示为线段，故说法正确，符合题意；
．射线不可表示为射线，故说法错误，不合题意；
．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意；
．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意；
故选．
3．（2023秋 高新区期末）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是
A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．线段是直线的一部分
【答案】
【解析】建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，
这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选．
4．（2023秋 泗洪县期末）如图，，，点，，在同一条直线上，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
点，，在同一条直线上，
．
故选．
5．（2022秋 海陵区校级期末）下列说法正确的是
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【答案】
【解析】．应强调在同一平面内，错误；
．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
．直线与角是不同的两个概念，错误；
．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．
故选．
6．（2022秋 太康县期末）如图，若，，那么等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，，
．
故选．
7．（2023秋 江都区期末）如图，点、、在线段上，若，，则图中所有线段长度之和为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
，，，
，
故选．
8．（2023秋 启东市期末）定义：若两个角差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如：，，，则和互为“优角”．如图，已知，射线平分，在的内部，若，则图中互为“优角”的共有
A．6对 B．7对 C．8对 D．9对
【答案】
【解析】，射线平分，
，
，，
与互为“优角”， 与互为“优角”，
又，
，
与互为“优角”，
，
，，
与互为“优角”， 与互为“优角”，
，
，，
与互为“优角”， 与互为“优角”，
综上所述：图中互为“优角”的共有7对．
故选．
二．填空题（共10小题）
9．（2023秋 润州区校级月考）如图所示，是一个立体图形的展开图，请写出这个立体图形的名称： 圆柱 ．
【答案】圆柱．
【解析】圆柱体的侧面展开是长方形，上下底面是圆，
这个立体图形为：圆柱，
故答案为：圆柱．
10．（2023秋 丰县校级月考）夜晚的流星划过天空时留下一道明亮的光线，由此说明了 点动成线 的数学事实．
【答案】点动成线．
【解析】夜晚的流星划过天空时留下一道明亮的光线，由此说明了点动成线，
故答案为：点动成线．
11．（2023秋 宝应县期末）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是面 ⑤ ．（填数字序号）
【答案】⑤．
【解析】若多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤．
故答案为：⑤．
12．（2023秋 工业园区期末）国际足联规定：足球场的边线及底线的外侧垂直向上的空间属于球场范围．当足球从地面及空中完全脱离该空间时，视为出界．这里的“完全”指的是：一定要是球的全部，一丝在界内都不算出界．在主视图、左视图和俯视图中，一定可以用来判断足球是否出界的是 俯视图 ．
【答案】俯视图．
【解析】在主视图、左视图和俯视图中，一定可以用来判断足球是否出界的是俯视图．
故答案为：俯视图．
13．（2024 沭阳县校级开学）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 14 个，一面涂色的小正方体有 个．
【答案】14，14．
【解析】如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个，
两面涂色的小正方体有14个．
如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个，
一面涂色的小正方体有（个．
故答案为：14，14．
14．（2023秋 镇江月考）如图是棱长为的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为 54 ．
【答案】54．
【解析】挖去一个棱长为1.5的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是，
故答案为：54．
15．（2023秋 新吴区期末）如图②是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，请类比梯形面积公式的推导方法（如图①，推导图②几何体的体积为 ．（结果保留
【答案】．
【解析】，
．
故答案为：．
16．（2022秋 高邮市期末）用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为、、，则、、的大小关系是 （用“”从小到大连接）．
【答案】．
【解析】主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积，
故，
故答案为：．
17．（2022秋 常州期末）某校元旦假期开展“巧手制作包装盒”的实践活动，如图是小芳用硬纸片做成的一个包装盒的展开图．若这个包装盒的体积是，则图中的 5 ．
【答案】5．
【解析】由长方体的展开图的特征可知，
这个长方体的包装盒的长为，宽为，高为，
所以，
解得，
故答案为：5．
18．（2021秋 如皋市期末）学习“展开与折叠”后，小明在家用剪刀剪开一个如图所示的长方体纸盒，得到其展开图．若此长方体纸盒的长，宽，高分别是，，（单位：，，则其小明剪得展开图的周长最大为 （用含，，的式子表示）．
【答案】．
【解析】如图所示，周长为．
这个平面图形的最大周长是．
故答案为：．
9．（2024 船营区一模）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 两点之间线段最短 ．
【答案】两点之间线段最短．
【解析】由线段的性质可知：
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
10．（2024秋 濠江区月考）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 3或4或5 ．
【答案】3或4或5．
【解析】一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．
故答案为：3或4或5．
11．（2023秋 文山市期末）一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是 ．
【答案】．
【解析】设这个角为，则这个角的补角，余角，
由题意得，，
解得：．
故答案为：．
12．（2023秋 临江市期末）时间为时，钟面上时针与分针的夹角的度数为 ．
【答案】．
【解析】时钟面上时针从7开始，
转的度数为，
从7开始转到10的度数为，
时夹角的度数．
故答案为：．
13．（2023秋 兴化市期末）如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是 ．
【答案】．
【解析】由题意，得：，，
；
故答案为：．
14．（2024秋 武进区期中）如图，点是的平分线上一点，在上，且．若，则的大小为 20 ．
【答案】20．
【解析】，
，，
平分，
，
．
故答案为：20．
15．（2023秋 东莞市期末）已知线段，直线上有一点，且，的长为 或 ．
【答案】或．
【解析】本题有两种情况：
（1）当点在线段上时，如图，，又，；
（2）当点在线段的延长线上时，如图，，又，，．
故答案填或．
16．（2024春 凉州区期中）已知直线及其外一点，过点作，过点作，点，分别为直线，上任意一点，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ．
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【解析】点为直线外的一点，且，，（已知）
，，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
17．（2024秋 南岗区校级月考）如图，点在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 20 ．
【答案】20．
【解析】，，
，
，
，
，
平分，
，
点在直线上，
，
，
解得：．
故答案为：20．
18．（2024春 通河县期末）如图，已知，，，，则 112.5 ．
【答案】112.5．
【解析】，，
，
，
，，
，
设，，
，
，
，
，
故答案为：112.5．
三．解答题（共8小题）
19．（2022春 江阴市校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
20．（2023秋 江都区月考）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）连接并延长到，使得；
（4）在线段上取点，使的值最小．
【解析】如图所画：
（1）
（2）
（3）
（4）．
21．（2024秋 市南区校级期中）如图，于点，于点，，试说明．请补充完整下面的说理过程：
解：，理由如下：因为，，
所以① 垂直定义 ，
所以，所以② ，
所以③ ，
又因为（已知）所以④ （等量代换），
所以⑤ ．
【解析】分别填空为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．
故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．
22．（2024春 鼓楼区校级月考）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
请根据图形写出已知、求证及证明．
已知：
求证：
证明：
【解析】已知：，．
求证：，
证明：作直线，与直线，，的交点依次为，，，
如图所示：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
23．（2024秋 金湖县期中）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，四边形的对角线有2条．
（1）在图2、图3中分别画出五边形、六边形的对角线，并写出五边形、六边形各有几条对角线；
（2）随着多边形边数的增加，其对角线的条数随之变化，则边形的对角线有 条．
．；．；．；．．
【解析】（1）如图所示：
（2）边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条，
共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
即边形的对角线的条数为．
故选．
24．（2023秋 广陵区校级月考）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求：
（1）求的长度；
（2）求的长度；
（3）若在直线上，且，求的长度．
【解析】（1）由线段中点的性质，；
（2）由线段的和差，得，
由线段中点的性质，得，
由线段的和差，得；
（3）当在点的右侧时，，
当在点的左侧时，，
的长度为或．
25．（2024秋 吴忠期中）（1）如图1，已知，，求证：；
（2）如图2，已知，，，求证：．
【解析】证明：（1）如图1，延长、相交于，
，
．
，
．
．
；
（2）如图2：连接，
设，，，，
，
．
．
，．
．
，
．
26．（2023秋 广陵区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．
（1）如图①所示，已知，，是的内半角，则 ．
（2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
（3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【解析】（1）如图1，，是的内半角，
，
，
；
故答案为：．
（2）如图2，由旋转可知，，
，，
是的内半角，
，即，
解得，
当旋转的角度为时，是的内半角；
（3）能，理由如下，
由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况：
①当射线在内，如图4，
此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
如图6，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒．
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