湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

2024年11月湖湘教育三新探索协作体高一期中联考
数学
班级：__________姓名：__________准考证号：__________
（本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级 姓名 准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（ ）
A. B. C. D.
4.若函数是上的单调函数，则的一个可能取值是（ ）
A. B.2 C.3 D.5
5.函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C.4 D.
7.已知，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题为假命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C.是奇函数 D.是偶函数
11.高一课外兴趣小组通过课本的推论，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ）
A.图象的对称中心为点
B.的图象关于直线对称
C.图象的对称中心为点
D.的图象关于点对称
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若命题为假命题，则实数的取值范围为__________.
13.中国国防部宣布中国人民解放军火箭军在9月25日8时44分向太平洋相关公海海域成功发射一枚洲际弹道导弹，导弹准确落入预定海域.我方对外直接公开发声，发射的就是洲际弹道导弹，毫无隐晦的公开信息，敞亮彰显了东方大国自信.在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度为（单位：km/s）和所携带的燃料的质量（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量（单位kg）的函数关系式近似满足（为常数）.当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量7倍时，约等于，则常数的值__________.
14.已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知关于的方程有实根，集合.
（1）求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若，求实数的取值范围.
16.（15分）
（1）已知，求恒成立时实数的取值范围；
（2）已知函数过点，求的最小值.
17.（15分）已知为实数，用表示不超过的最大整数.则函数称为取整函数，也叫高斯（Gaussian）函数，例如[3.5]=3，.
（1）若函数，求的值；
（2）若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求实数的取值范围.
18.（17分）已知定义在上的奇函数，偶函数，.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性；
（3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
（1）写出一个满足性质的函数，并注明定义域；
（2）若满足性质在上单调，且对都成立，解关于的不等式；
（3）在（2）的条件下，已知，若，证明：.
2024年11月湖湘教育三新探索协作体高一期中联考
数学参考答案
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】由，解得，所以，.故选：A.
2.【答案】D
【解析】A选项，的定义域为是奇函数，且为增函数，A选项错误；
B选项，的定义域为，所以为奇函数，且为上的增函数，B选项错误；
C选项，的定义域为，所以不是奇函数，C选项错误；
D选项，的定义域为是奇函数，当时，，所以在上单调递减，D选项正确.故选：D.
3.【答案】C
【解析】函数的对称轴为，
当时，当时，当时，值域为，故A错误；
当时，当时，当时，当时值域为，故B错误；
当时，当时，当时，值域为，故C正确；
当时，当时，当时，值域为，故D错误.故选：C.
4.【答案】D
【解析】因为函数在上单调，由在]上不可能单调递增，则函数在上不可能单调递增，故在上单调递减，所以，所以可以取5.故选：D.
5.【答案】B
【解析】排除法：由于，得，所以的定义域是，由此排除C选项；与轴交点为，排除D选项；函数值为非负数，所以排除A；所以正确的选项为B.
直接法：直接做出图象进行翻折变换即可.故选：B.
6.【答案】D
【解析】，则，当且仅当时，取得等号.故选：D.
7.【答案】C
【解析】不能得到，而说明可以推出，故选：C.
8.【解析】因为是上的奇函数，所以，所以.
因为，所以可得，所以，经检验，此时为上的奇函数，且为增函数；因为能成立，所以能成立，即能成立.因为（当且仅当，即时取等号），故选：D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】ABC
【解析】A选项，，当时，若，等号成立，但，所以A选项是假命题；
B选项，若，如时，，所以B选项是假命题；
C选项，，则
，
所以，所以C选项是假命题；
D选项，构造函数，可知函数在上为奇函数且单调递增，由，所以，正确.故选：ABC.
10.【答案】ABC
【解析】令，则，即，A正确；
令，则，令，则，则，
故.B正确；
是奇函数，C正确；
是非奇非偶函数，D不正确.故选：ABC.
11.【答案】AD
【解析】A选项，，
设，为奇函数，所以图象的对称中心为，所以A选项正确；
B选项，，
设，，所以不为偶函数，
所以的图象不关于对称，所以B选项不正确；
C选项，，对称中心为，所以C选项错误；
D选项，，设，，所以是奇函数，所以D选项正确.故选：AD.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】命题为假命题，所以为真.时，为真.时，有，得到，所以综合取值范围为.
13.【答案】12
【解析】时，，所以时，，所以，
两式相减，，得到，所以，故答案为：2.
14.【答案】
【解析】，
①当时，，
若恒成立，即恒成立，即
恒成立，
②当时，即，，得到；
③当时，，若恒成立，
则恒成立，即恒成立，在上有（由函数的单调性可得）
，当且仅当，即时取等号，
，
综上，，即的取值范围是.
方法2：用图象变换求解.
从解析式来看，恒大于0，所以直接有：恒成立，即且恒成立.令，通过作图找到其最大值即可；再令，同样作图可找其最小值.
结合图象和函数的单调性得到的最大值为；
结合图象和单调性得到的最小值为3.
故答案为：.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）（2）
【解析】（1）方程有实根，则，
解得或，
综上，；
（2）若，则，
，
得到，
若，则，不合题意，舍去，
所以得到或，
所以，
综上，.
16.【答案】见解析
【解析】（1）已知，可得，
所以，
当且仅当取得等号，
所以，
；
（2）已知函数过点，可得到，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
17.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由于，
所以，
；
（2）当时，，
则存在，使得，对于，得到，所以，
即的取值范围是.
另：或者由在上有解，转化为直线与函数的图象在上有交点，也可得到.
18.【答案】（1）（2）为奇函数，证明见解析（3）见解析
【解析】（1）由题意，为奇函数，为偶函数，
；
（2），
的定义域为，所以为奇函数；，
任意，且
，
，
所以为上增函数；
（3）得到，
即，因为为上增函数，所以，
当时，解集不为，舍去，
所以，得到.
19.【答案】见解析
【解析】（1）函数；
答案不唯一，也是正确的；
（2）若满足性质，且定义域为.
若在上单调，且在时恒有，而时，得到，
在上单调，在时恒有
所以在上是单调函数，只能是单调减函数，
得到，即，
因为在上是单调减函数，所以，
即，即，
①当时，不等式为，不等式解集为；
②当时，即时，不等式为，不等式解集为；
③当时，，不等式解集为；
④当时，，不等式解集为；
⑤时，不等式解集为.
（3）已知，若，，
在上是单调函数，，
.