北师大版数学八年级上册第五章1--2节专题训练
一、选择题
1.(2024·台湾)若二元一次联立方程式的解为,则a+b之值为何?( )
A.﹣28 B.﹣14 C.﹣4 D.14
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解;代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵ 二元一次联立方程式的解为 ,
∴,
将②代入①得5a+9a=28,
解得a=2,
将a=2代入②得b=-6,
∴a+b=2+(-6)=-4.
故答案为:C.
【分析】根据方程组解得定义,将代入原方程组可得关于字母a、b的方程组,利用代入消元法解所得方程组求出a、b的值,最后再求a、b的和即可.
2.(2023·无锡)下列4组数中,不是二元一次方程的解是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解:A、把代入方程,
左边,
右边,
左边=右边,
是二元一次方程的解,A不符合题意;
B、把代入方程,
左边,
右边,
左边=右边,
是二元一次方程的解,B不符合题意;
C、把代入方程,
左边,
右边,
左边=右边,
是二元一次方程的解,C不符合题意;
D、把代入方程,
左边,
右边,
左边右边,
不是二元一次方程的解,D符合题意,
故答案为:D.
【分析】将x、y的值代入方程即可验证是否是方程的解.
3.(2023·南充)关于x,y的方程组的解满足,则的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:由题意得,①-②得2x+2y=2m-n-1,
∵,
∴2m-n=3,
∴,
故答案为:D
【分析】先运用加减消元法得到2m-n=3,再运用同底数幂的除法法则进行运算,结合题意即可求解。
4.(2022·株洲)对于二元一次方程组,将①式代入②式,消去可以得到( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:将①式代入②式得,
,即.
故答案为:B.
【分析】直接将①代入②中,即用(x-1)替换②中的y,然后去括号可得结果.
5.(2023·南通)若实数,,满足,,则代数式的值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的性质;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:
由①+②得,
将代入①得
,
∴,
∵,故A,B,C不符合题意,D符合题意;
故答案为:D
【分析】利用加减消元法求出x,y的值,将x,y代入-2xy+1,可得到-2xy+1与m的函数解析式,由此可得到-2xy+1≤,据此可得答案.
6.(2023·眉山)已知关于的二元一次方程组的解满足,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:由题意得,
①-②得2x-2y=2m+6,
∴m+3=4,
∴m=1,
故答案为:B
【分析】运用加减消元法结合题意即可求解。
7.(2020·黑龙江)若 是二元一次方程组 的解,则x+2y的算术平方根为( )
A.3 B.3,-3 C. D. ,-
【答案】C
【知识点】算术平方根;解二元一次方程组
【解析】【解答】解:将 代入二元一次方程 中,
得到: ,解这个关于x和y的二元一次方程组,
两式相加,解 得,将 回代方程中,解得 ,
∴ ,
∴x+2y的算术平方根为 ,
故答案为:C.
【分析】将 代入二元一次方程组中解出x和y的值,再计算x+2y的算术平方根即可.
8.(2024·齐齐哈尔)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动,为奖励表现突出的学生,计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品,则购买方案有( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解:设购买单价为8元的笔记本x本,购买单价为10元的笔记本y本,
根据题意,得8x+10y=200,
整理得,
∵x、y都是正整数,
∴或或或,
∴购买方案有4种.
故答案为:B.
【分析】设购买单价为8元的笔记本x本,购买单价为10元的笔记本y本,根据题意列出关于x、y的二元一次方程,求出正整数解即可.
二、填空题
9.(2024·宿迁)若关于x、y的二元一次方程组的解是,则关于x、y的方程组的解是 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解;解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵的解为,
∴,
解得:,
故答案为:.
【分析】先把所求方程组转化为,观察该方程组与已知解的方程组结构特征,可得,解方程组求出x、y的值即可.
10.(2022·随州)已知二元一次方程组,则的值为 .
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】原方程组为,
由②-①得.
故答案为:1.
【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x,y的系数都相差1,因此由②-①,可求出x-y的值.
11.(2022·贺州)若实数m,n满足 ,则 .
【答案】7
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则;算术平方根的性质(双重非负性);绝对值的非负性;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵m,n满足 ,
∴m-n-5=0,2m+n 4=0,
∴m=3,n=-2,
∴
故答案为:7.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的非负性,由两个非负数的和为0,则每一个数都等于0得m-n-5=0,2m+n 4=0,联立求出m、n的值,然后代入3m+n中计算即可.
12.(2018·滨州)若关于x、y的二元一次方程组 ,的解是 ,则关于a、b的二元一次方程组 的解是 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解;解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ,
∴将解 代入方程组
可得m=﹣1,n=2
∴关于a、b的二元一次方程组 整理为:
解得:
【分析】根据二元一次方程组解的定义,将x,y的值,代入第一个方程组,求出m,n的值;再将m,n的值代入第二个方程组得出一个关于a,b的方程组,求解即可得出a,b的值。
13.(2023·通辽)点Q的横坐标为一元一次方程的解,纵坐标为的值,其中a,b满足二元一次方程组,则点Q关于y轴对称点的坐标为 .
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征;利用等式的性质解一元一次方程;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵3x+7=32-2x,
∴5x=25,
∴x=5.
①+②,得a+b=-4,
∴Q(5,-4),
∴点Q关于y轴的对称点Q′的坐标为(-5,-4).
故答案为:(-5,-4).
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x的值,将方程组中的两个方程相加可得a+b的值,据此可得点Q的坐标,然后根据关于y轴对称点的坐标特征就可得到点Q′的坐标.
三、计算题
14.(2020·呼和浩特)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式,例如:解方程 ,就可以利用该思维方式,设 ,将原方程转化为: 这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.已知实数x,y满足 ,求 的值.
【答案】解:令 ,则原方程组可化为:
,整理得: ,
②-①得: ,
解得: ,代入②可得:b=4,
∴方程组的解为: 或 ,
,
当a=5时, =6,
当a=-5时, =26,
因此 的值为6或26.
【知识点】解二元一次方程组;定义新运算;数学思想
【解析】【分析】通过“换元”的思路,可以将所要求的方程组中的元素进行换元,两个式子中都有 和 ,因此可以令 ,列出方程组,从而求出a,b的值,再求出 的值.
15.(2020·扬州)阅读感悟:
有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:
已知实数x、y满足 ①, ②,求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①②可得 ,由①② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题:
(1)已知二元一次方程组 ,则 , ;
(2)某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元?
(3)对于实数x、y,定义新运算: ,其中a、b、c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 , ,那么 .
【答案】(1)-1;5
(2)解:设每支铅笔x元,每块橡皮y元,每本日记本z元,则
①×2,得40x+6y+4z=64③
③-②,得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答:购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
(3)-11
【知识点】解二元一次方程组;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:(1)
①-②,得x-y=-1
①+②,得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为:-1,5(3)∵
∴①, ②,
∴②-①,得 ③
∴④
①+②,得 ⑤
⑤-④,得
∴
故答案为:-11
【分析】(1)已知 ,利用解题的“整体思想”,①-②即可求得x-y,①+②即可求得x+y的值;(2)设每支铅笔x元,每块橡皮y元,每本日记本z元,根据题意列出方程组,根据(1)中“整体思想”,即可求解;(3)根据 ,可得 , , ,根据“整体思想”,即可求得 的值.
16.(2018·扬州)对于任意实数 、 ,定义关于“ ”的一种运算如下: .例如 .
(1)求 的值;
(2)若 ,且 ,求 的值.
【答案】(1)解:
(2)解:由题意得 ∴ .
【知识点】解二元一次方程组;定义新运算
【解析】【分析】(1)根据新定义的运算方法转化为有理数的混合运算,按有理数的混合运算算出结果即可;
(2)根据新定义运算的方法,列出二元一次方程组,求解得出x,y的值,再代入代数式,利用有理数的加法运算算出结果。
17.(2020·广东)已知关于 , 的方程组 与 的解相同.
(1)求 , 的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为 ,另外两条边的长是关于 的方程 的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.
【答案】(1)解:由题意列方程组:
解得
将 , 分别代入 和
解得 ,
∴ ,
(2)
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下:∵
∴该三角形是等腰直角三角形.
【知识点】解二元一次方程组;勾股定理
【解析】【分析】(1)关于x,y的方程组 与 的解相同.实际就是方程组
的解,可求出方程组的解,进而确定a、b的值;(2)将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b=0,求出方程的解,再根据方程的两个解与 为边长,判断三角形的形状.
1 / 1北师大版数学八年级上册第五章1--2节专题训练
一、选择题
1.(2024·台湾)若二元一次联立方程式的解为,则a+b之值为何?( )
A.﹣28 B.﹣14 C.﹣4 D.14
2.(2023·无锡)下列4组数中,不是二元一次方程的解是( )
A. B. C. D.
3.(2023·南充)关于x,y的方程组的解满足,则的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
4.(2022·株洲)对于二元一次方程组,将①式代入②式,消去可以得到( )
A. B. C. D.
5.(2023·南通)若实数,,满足,,则代数式的值可以是( )
A. B. C. D.
6.(2023·眉山)已知关于的二元一次方程组的解满足,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.(2020·黑龙江)若 是二元一次方程组 的解,则x+2y的算术平方根为( )
A.3 B.3,-3 C. D. ,-
8.(2024·齐齐哈尔)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动,为奖励表现突出的学生,计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品,则购买方案有( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
二、填空题
9.(2024·宿迁)若关于x、y的二元一次方程组的解是,则关于x、y的方程组的解是 .
10.(2022·随州)已知二元一次方程组,则的值为 .
11.(2022·贺州)若实数m,n满足 ,则 .
12.(2018·滨州)若关于x、y的二元一次方程组 ,的解是 ,则关于a、b的二元一次方程组 的解是 .
13.(2023·通辽)点Q的横坐标为一元一次方程的解,纵坐标为的值,其中a,b满足二元一次方程组,则点Q关于y轴对称点的坐标为 .
三、计算题
14.(2020·呼和浩特)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式,例如:解方程 ,就可以利用该思维方式,设 ,将原方程转化为: 这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.已知实数x,y满足 ,求 的值.
15.(2020·扬州)阅读感悟:
有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:
已知实数x、y满足 ①, ②,求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①②可得 ,由①② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题:
(1)已知二元一次方程组 ,则 , ;
(2)某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元?
(3)对于实数x、y,定义新运算: ,其中a、b、c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 , ,那么 .
16.(2018·扬州)对于任意实数 、 ,定义关于“ ”的一种运算如下: .例如 .
(1)求 的值;
(2)若 ,且 ,求 的值.
17.(2020·广东)已知关于 , 的方程组 与 的解相同.
(1)求 , 的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为 ,另外两条边的长是关于 的方程 的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解;代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵ 二元一次联立方程式的解为 ,
∴,
将②代入①得5a+9a=28,
解得a=2,
将a=2代入②得b=-6,
∴a+b=2+(-6)=-4.
故答案为:C.
【分析】根据方程组解得定义,将代入原方程组可得关于字母a、b的方程组,利用代入消元法解所得方程组求出a、b的值,最后再求a、b的和即可.
2.【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解:A、把代入方程,
左边,
右边,
左边=右边,
是二元一次方程的解,A不符合题意;
B、把代入方程,
左边,
右边,
左边=右边,
是二元一次方程的解,B不符合题意;
C、把代入方程,
左边,
右边,
左边=右边,
是二元一次方程的解,C不符合题意;
D、把代入方程,
左边,
右边,
左边右边,
不是二元一次方程的解,D符合题意,
故答案为:D.
【分析】将x、y的值代入方程即可验证是否是方程的解.
3.【答案】D
【知识点】同底数幂的除法;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:由题意得,①-②得2x+2y=2m-n-1,
∵,
∴2m-n=3,
∴,
故答案为:D
【分析】先运用加减消元法得到2m-n=3,再运用同底数幂的除法法则进行运算,结合题意即可求解。
4.【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:将①式代入②式得,
,即.
故答案为:B.
【分析】直接将①代入②中,即用(x-1)替换②中的y,然后去括号可得结果.
5.【答案】D
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的性质;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:
由①+②得,
将代入①得
,
∴,
∵,故A,B,C不符合题意,D符合题意;
故答案为:D
【分析】利用加减消元法求出x,y的值,将x,y代入-2xy+1,可得到-2xy+1与m的函数解析式,由此可得到-2xy+1≤,据此可得答案.
6.【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:由题意得,
①-②得2x-2y=2m+6,
∴m+3=4,
∴m=1,
故答案为:B
【分析】运用加减消元法结合题意即可求解。
7.【答案】C
【知识点】算术平方根;解二元一次方程组
【解析】【解答】解:将 代入二元一次方程 中,
得到: ,解这个关于x和y的二元一次方程组,
两式相加,解 得,将 回代方程中,解得 ,
∴ ,
∴x+2y的算术平方根为 ,
故答案为:C.
【分析】将 代入二元一次方程组中解出x和y的值,再计算x+2y的算术平方根即可.
8.【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解:设购买单价为8元的笔记本x本,购买单价为10元的笔记本y本,
根据题意,得8x+10y=200,
整理得,
∵x、y都是正整数,
∴或或或,
∴购买方案有4种.
故答案为:B.
【分析】设购买单价为8元的笔记本x本,购买单价为10元的笔记本y本,根据题意列出关于x、y的二元一次方程,求出正整数解即可.
9.【答案】
【知识点】二元一次方程组的解;解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵的解为,
∴,
解得:,
故答案为:.
【分析】先把所求方程组转化为,观察该方程组与已知解的方程组结构特征,可得,解方程组求出x、y的值即可.
10.【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】原方程组为,
由②-①得.
故答案为:1.
【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x,y的系数都相差1,因此由②-①,可求出x-y的值.
11.【答案】7
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则;算术平方根的性质(双重非负性);绝对值的非负性;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵m,n满足 ,
∴m-n-5=0,2m+n 4=0,
∴m=3,n=-2,
∴
故答案为:7.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的非负性,由两个非负数的和为0,则每一个数都等于0得m-n-5=0,2m+n 4=0,联立求出m、n的值,然后代入3m+n中计算即可.
12.【答案】
【知识点】二元一次方程组的解;解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ,
∴将解 代入方程组
可得m=﹣1,n=2
∴关于a、b的二元一次方程组 整理为:
解得:
【分析】根据二元一次方程组解的定义,将x,y的值,代入第一个方程组,求出m,n的值;再将m,n的值代入第二个方程组得出一个关于a,b的方程组,求解即可得出a,b的值。
13.【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征;利用等式的性质解一元一次方程;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵3x+7=32-2x,
∴5x=25,
∴x=5.
①+②,得a+b=-4,
∴Q(5,-4),
∴点Q关于y轴的对称点Q′的坐标为(-5,-4).
故答案为:(-5,-4).
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x的值,将方程组中的两个方程相加可得a+b的值,据此可得点Q的坐标,然后根据关于y轴对称点的坐标特征就可得到点Q′的坐标.
14.【答案】解:令 ,则原方程组可化为:
,整理得: ,
②-①得: ,
解得: ,代入②可得:b=4,
∴方程组的解为: 或 ,
,
当a=5时, =6,
当a=-5时, =26,
因此 的值为6或26.
【知识点】解二元一次方程组;定义新运算;数学思想
【解析】【分析】通过“换元”的思路,可以将所要求的方程组中的元素进行换元,两个式子中都有 和 ,因此可以令 ,列出方程组,从而求出a,b的值,再求出 的值.
15.【答案】(1)-1;5
(2)解:设每支铅笔x元,每块橡皮y元,每本日记本z元,则
①×2,得40x+6y+4z=64③
③-②,得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答:购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
(3)-11
【知识点】解二元一次方程组;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:(1)
①-②,得x-y=-1
①+②,得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为:-1,5(3)∵
∴①, ②,
∴②-①,得 ③
∴④
①+②,得 ⑤
⑤-④,得
∴
故答案为:-11
【分析】(1)已知 ,利用解题的“整体思想”,①-②即可求得x-y,①+②即可求得x+y的值;(2)设每支铅笔x元,每块橡皮y元,每本日记本z元,根据题意列出方程组,根据(1)中“整体思想”,即可求解;(3)根据 ,可得 , , ,根据“整体思想”,即可求得 的值.
16.【答案】(1)解:
(2)解:由题意得 ∴ .
【知识点】解二元一次方程组;定义新运算
【解析】【分析】(1)根据新定义的运算方法转化为有理数的混合运算,按有理数的混合运算算出结果即可;
(2)根据新定义运算的方法,列出二元一次方程组,求解得出x,y的值,再代入代数式,利用有理数的加法运算算出结果。
17.【答案】(1)解:由题意列方程组:
解得
将 , 分别代入 和
解得 ,
∴ ,
(2)
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下:∵
∴该三角形是等腰直角三角形.
【知识点】解二元一次方程组;勾股定理
【解析】【分析】(1)关于x,y的方程组 与 的解相同.实际就是方程组
的解,可求出方程组的解,进而确定a、b的值;(2)将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b=0,求出方程的解,再根据方程的两个解与 为边长,判断三角形的形状.
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