4．1 认识三角形
第1课时 三角形的内角和
1．理解三角形内角和定理及其验证方法，能够运用其解决一些简单问题；(重点)
2．理解直角三角形的相关性质并能够运用其解决问题．
一、情境导入
(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里，住着三 ( http: / / www.21cnjy.com )个内角，平时他们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这是不可能的，否则我们这个家就要被拆散，围不起来了！”“为什么呢？”老二、老三纳闷起来……
同学们，你们知道其中的道理吗？
二、合作探究
探究点一：三角形的内角和
【类型一】 求三角形内角的度数
已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解析：在△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB的度数即可．
解：在△DFB中，∵∠DFB＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 判断三角形的形状
一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.
方法总结：判断三角形的形状，可从角的大小来判断，根据三角形的内角和及角之间的关系列出相关方程式求解即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
探究点二：直角三角形的两个锐角互余
如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF，再根据三角形的内角和定理求出∠C＋∠DBC＝∠F＋∠DEF，然后求解即可．
解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，又∵∠CDB＝∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°.
方法总结：本题主要利用了“直角三角形两锐角互余”的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2．三角形内角和定理的证明
3．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余．
本节课通过一段对话设置疑问 ( http: / / www.21cnjy.com )，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率．然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想．在教学中，教师通过必要的提示指明学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作过程和说明自己的想法，这样有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论4．1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线、高
1．掌握三角形的中线、角平分线、高的定义；(重点)
2．能够准确地画出三角形的中线、角平分线和高，并能够对其进行简单的应用．(难点)
一、情境导入
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．
二、合作探究
探究点一：三角形的中线
【类型一】 应用三角形的中线求线段的长
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴B ( http: / / www.21cnjy.com )D＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC＝BA－5cm＝2cm，∴BA＝7cm.故答案为7cm.
方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题
如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
解析：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
探究点二：三角形的角平分线
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解析：根据AD是△ABC的角平分线，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝60°，得出∠BAD＝30°.再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.
方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
探究点三：三角形的高
【类型一】 三角形高的画法
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
解析：从三角形的顶点向它的对边引垂线， ( http: / / www.21cnjy.com )顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．过点C作边AB的垂线段，即作AB边上的高CD，所以作法正确的是D.故选D.
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 根据三角形的面积求高
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．
解析：根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知AD·BC＝BP·AC，解得BP＝.故答案为.
方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．
【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用
在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B ( http: / / www.21cnjy.com )和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．
解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设 ( http: / / www.21cnjy.com )∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．
2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．
本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引 ( http: / / www.21cnjy.com )入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手，分三种情况，即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生分类讨论思想．同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固4．1 认识三角形
第2课时 三角形的三边关系
1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；
2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)
一、情境导入
数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？
问：你能不能给三角形下一个完整的定义？
二、合作探究
探究点一：三角形按边分类
下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是( )
解析：
故选D.
方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解本题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
探究点二：三角形中三边之间的关系
【类型一】 判定三条线段能否组成三角形
以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
解析：选项A中2＋3＝5，不能组成 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.
方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】 判断三角形边的取值范围
一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A.
方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型三】 三角形三边关系与绝对值的综合
若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．
解：根据三角形的三边关系，两边之 ( http: / / www.21cnjy.com )和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.
方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值 ( http: / / www.21cnjy.com )符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
1．三角形按边分类：
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．
2．三角形中三边之间的关系：
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
本节课让学生经历一个探究解 ( http: / / www.21cnjy.com )决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力
