第3课时 利用“边角边”判定三角形全等
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”；(重点)
2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．(重点)
一、情境导入
小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．
想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？
让我们一起来探索三角形全等的条件吧！
二、合作探究
探究点一：全等三角形判定定理“SAS”
【类型一】 利用“SAS”判定三角形全等
如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.试说明：△AEF≌△BCD.
解析：由AE∥BC，根据平 ( http: / / www.21cnjy.com )行线的性质，可得∠A＝∠B.由AD＝BF，可得AF＝BD.由AE＝BC，根据“SAS”，即可得△AEF≌△BCD.
解：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵∴△AEF≌△BCD(SAS)．
方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型二】 利用“SSA”不能判定三角形全等
下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合．故选C.
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中 ( http: / / www.21cnjy.com )一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来考虑，只具备“SSA”时是不能判定三角形全等的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型三】 灵活运用三种不同方法证明三角形全等
如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．
解析：由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠E ( http: / / www.21cnjy.com )AD.又因为AB＝AE，所以当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED；当添加AC＝AD时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.故答案为∠C＝∠D或∠B＝∠E或AC＝AD.
方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“ ( http: / / www.21cnjy.com )SSS”“SAS”“ASA”“AAS”．注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用
【类型一】 利用全等三角形进行证明或计算
如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度数．
解析：利用已知条件易得∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C＝∠FBE，再根据全等三角形的判定方法可证明△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可得∠C的度数．
解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )FBE.在△ABC和△FBE中，∵∴△ABC≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝60°.
方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】 全等三角形与其他图形的综合
如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.试说明：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
解析：(1)由已知条件中有两个正方形，得A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝CD，DE＝DG.它们的夹角都是∠ADG加上直角，可得夹角相等，故△ADE和△CDG全等，即可得AE＝CG；(2)再利用互余关系可以说明AE⊥CG.
解：(1)∵四边形ABCD、DEFG都 ( http: / / www.21cnjy.com )是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE和△CDG中，∵∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG；
(2)设AE与DG相交于M，AE与 ( http: / / www.21cnjy.com )CG相交于N.在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED，又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，∴∠CGD＋∠GMN＝90°，∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
2．全等三角形判定与性质的综合运用
本节课从操作探究入手，具 ( http: / / www.21cnjy.com )有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边角边”掌握较好，但在探究三角形的大小、形状时不会正确分类，需要在今后的教学和作业中进一步加强分类思想的巩固和训练4．3 探索三角形全等的条件
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等；(重点)
2．经历探索“边边边”判定三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；(重点)
3．在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．(难点)
一、情境导入
一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片做哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃？与同伴交流．
二、合作探究
探究点一：全等三角形判定定理“SSS”
【类型一】 利用“SSS”判定两个三角形全等
如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.试说明：△ABC≌△DEF.
解析：已知△ABC与△DEF两边相等，通过BE＝CF可得BC＝EF，即可根据“SSS”判定△ABC≌△DEF.
解：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(SSS)．
方法总结：先根据已知条件或求证的结论确定哪两个三角形全等，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 “SSS”与全等三角形的性质综合进行证明
如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．试说明：AD⊥BC.
解析：要使AD⊥BC，根据垂直的定义，需使∠1＝∠2，而∠1＝∠2可由△ABD≌△ACD求得．
解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定义)．
方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型三】 利用“SSS”解决探究性问题
如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF.
(1)若E、F运动至图①所示的位置，且有AF＝CE.试说明：△ADE≌△CBF.
(2)若E、F运动至图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
解析：(1)由AF＝CE，可推出AE＝CF ( http: / / www.21cnjy.com ).再利用“SSS”来证明三角形全等；(2)同样利用“SSS”来说明三角形全等；(3)由三角形全等，故对应角相等，可推出AD∥CB.
解：(1)∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，∵
∴△ADE≌△CBF(SSS)；
成立．∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，
∵∴△ADE≌△CBF(SSS)；
(3)平行．理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴∠A＝∠C，∴AD∥BC.
方法总结：解决本题要明确无论E、F如何运动，总有两个三角形全等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
探究点二：三角形的稳定性
要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定……那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性 ( http: / / www.21cnjy.com )，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．
解：过n边形的一个顶点可以 ( http: / / www.21cnjy.com )作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．
方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
1．边边边：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
2．三角形的稳定性
本节课从操作探究活动入手，有效 ( http: / / www.21cnjy.com )地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练4．3 探索三角形全等的条件
第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”“角角边”；(重点)
2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(难点)
一、情境导入
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．
教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．
二、合作探究
探究点一：全等三角形判定定理“ASA”
如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明：△ADF≌△CBE.
解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用“ASA”可得到△ADF≌△CBE.
解：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∵∴△ADF≌△CBE(ASA)．
方法总结：在“ASA”中，包含“边” ( http: / / www.21cnjy.com )和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二：全等三角形判定定理“AAS”
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，试说明：△ADC≌△BDF.
解析：先说明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据“AAS”即可得出两三角形全等．
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AD ( http: / / www.21cnjy.com )C＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵∴△ADC≌△BDF(AAS)．
方法总结：在“AAS”中，“边”是其中一个角的对边．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
探究点三：全等三角形判定与性质的综合
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：
(1)△BDA≌△AEC；
(2)DE＝BD＋CE.
解析：(1)由垂直的关系可以得 ( http: / / www.21cnjy.com )到一对直角相等，利用“同角的余角相等”得到一组对应角相等，再由AB＝AC，利用“AAS”即可得出结论；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝CE，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得出结论．
解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠A ( http: / / www.21cnjy.com )DB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵∴△BDA≌△AEC(AAS)；
(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
本节课的教学借助于动 ( http: / / www.21cnjy.com )手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法说明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练
