【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载(共20张PPT)
授课人：XXX
SHORTEST PATH PROBLEM
最短路径问题
第13章 轴对称
初中数学
学习目标
3
能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
1
学会将实际问题中的已知条件抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；
2
学会用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；
在直线上求一点，使值最小
模型一：
新知探究
A
B
P
连与交点即为
作法：
两点之间线段最短；
最小值为
原理：
A. 15 B. 16 C. 17 D. 15.5
例题精讲
如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，若，则周长的最小值是（ ）
A
解析：
∵直线是中边的垂直平分线，
∴，
∴周长=，
∵两点之间线段最短，∴，
∴的周长=，
∵，周长最小为.
跟踪练习
如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB=6，AC=4，BC=7，则△APC周长的最小值是 ．
10
解析：
∵直线垂直平分，
∴关于直线对称，
设直线交于，
∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
在直线上求一点，使值最小
模型二：
新知探究
A
B
l
A’
C
作关于的对称点，
连与交点即为
作法：
两点之间线段最短，
最小值为
原理：
（两定一动）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
例题精讲
如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点P使最短，则点应选在（ ）
C
M’
解析：
如图，点是点关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点，即为点，此时最短，
∵与直线l交于点，
∴点应选点．
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
例题精讲
如图，在等边三角形中，边上的中线，是上的一个动点，是边上的一个动点，在点，运动的过程中，的最小值是（ ）
A
解析：连接.∵是等边三角形，是中线，∴垂直平分，∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小．
此时：∵是等边三角形，，，∴，即的最小值是6，
在直线、上分别求点、，使的周长最小.
模型三：
新知探究
分别作点关于两直线的对称点和，
连与两直线交点即为、
作法：
两点之间线段最短；
的最小值为线段的长.
原理：
（一定两动）
l1
l2
P
P’
P’’
M
N
A. 55° B. 50° C. 40° D. 45°
例题精讲
如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是（ ）
C
P1
P2
解析：作关于，的对称点，．连接，．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，∵关于对称，
，，，
同理，，，
（）=，，是等腰三角形．
，=180°-2×50°=80°，
=40°.
A. 58° B. 64° C. 61° D. 74°
跟踪练习
四边形中，=122°，==90°，在、上分别找一点，当三角形周长最小时，的度数为（ ）
B
A’
A’’
解析：如图，延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、．
==90°，∴、关于对称，关于对称，此时的周长最小，∵=，，∴=，同理：=，==，
==,==，
（），，=180°-=58°，∴+=2×58°=116°．
=180°-116°=64°，
A. 96 B. 48 C. 38 D. 24
变式练习
如图，中，，是边的中线，点是上的动点，点是边上的动点，若的最小值为9.6，则的面积为（ ）
B
解析：连接，.∵，是边的中线，
∴直线是等腰三角形的对称轴，∴，
∴，又∵点是边上的动点，
∴当是边上的高时，取最小值，
∵的最小值为9.6，∴边上的高为9.6，
∴的面积= ×10×9.6=48.
A. B. C. D.
变式练习
如图，=，，点A为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，（ ）
B
解析：作点关于的对称点，过点作射线，则，连接，，则，，作点关于的对称点，过点作射线，则，连接，则，∴++=++，要使++最小，需点，，，在一条直线上，且，∵，，∴可以过点作，此时====+=，
∴当最小时，+=
在直线、上分别求点、，使四边形的周长最小
模型四：
新知探究
分别作点、关于直线、的对称点’、，
连与两直线交点即为、
作法：
两点之间线段最短；四边形周长的
最小值为线段的长.
原理：
（两定两动）
Q
P
M
Q’
P’
N
A. 45° B. 90°
C. 75° D. 135°
例题精讲
如图，在中，=，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）
B
跟踪练习
(-8，0)
G
H
解析：作点关于y轴的对称点，连接、，作于点，则
∵垂直平分，∴，∴，
∵，∴当，且的值最小时，的值最小，∴当与重合，且点、、在同一条直线上时，的值最小，此时+的值最小，∴==7，∵是等边三角形，=60°，
=90°-=30°，∴==2×7=14，
∵=2，=，∴+=2==-=14-2=12，∴=6，∴=+=6+2=8，∴（-8，0），
如图，在平面直角坐标系中，点在x轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且=2，点F是线段上的动点，点是y轴负半轴上的动点，当的值最小时，=7，则点的坐标是
直线，在，上分别求点，，使，且的值最小
模型五：
新知探究
将点向下平移的长度单位得。
连接，交于点，过作于.
作法：
两点之间线段最短；
的最小值为
原理：
（造桥选址）
A
A’
M
N
B
A. 唯方案一可行
B. 唯方案二可行
C. 方案一、二可行
D. 方案一、二均不可行
例题精讲
如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
A
跟踪练习
如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
解析：
如图，平移到，使等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接．此时路径最短．
A1
课堂小结
造桥选址
最短路径问题
两定一动
两定点
与直线
一定两动
两定两动
