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授课人：XXX
CHAPTER REVIEW
章节复习
第13章 轴对称
初中数学
1
巩固轴对称的定义及性质，掌握尺规作图；
学习目标
2
巩固垂直平分线的性质和定义，并熟练应用垂直平分线的尺规作图；
3
巩固等腰三角形的定义及性质和判定，熟练应用等腰三角形的性质和判定解决问题；
4
巩固等边三角形的定义及性质的判定，掌握直角三角形定理，熟练应用相关定理解决问题；
5
巩固最短路径问题并熟练应用“桥梁”思想解决问题.
知识回顾
轴对称：
（1）轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形. 这条直线是对称轴.
注意：①轴对称图形指的是一个图形；它被对称轴分成的两部分互相重合；
②一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；
③对称轴是一条直线
（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，就是这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴、折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
知识回顾
轴对称：
（3）轴对称、轴对称图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形.
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某直线对称，如果他们的对称线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
注意：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称.
题型回顾
轴对称图形以其特有的对称美，给人们带来了一种和谐的美感．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
题型巩固
如图，在四边形中，===，对角线与相互垂直平分，则图中的轴对称图形共有 对．
【解析】∵在四边形中，
，对角线与相互垂直平分，
∴图中的轴对称图形有：
和，和，
和，和，
和，和共6对．
6
知识巩固
线段的垂直平分线（中垂线）：
（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线；
（2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
（4）画法：分别以线段两个端点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点、，作直线，则直线是线段的垂直平分线，如图所示.
题型巩固
如图，在中，=8，=6，以，为圆心、大于1/2的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，过，作直线与相交于点，则的周长为（ ）
A. 7 B. 10 C. 11 D. 14
【解析】由作法得垂直平分，
∴，
∴ 的周长
D
题型巩固
电信公司要修建一个服务站，如图所示，按设计要求，服务站到两个城市，的距离必须相等，且到两条公路和的距离相等．服务站应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
解：如图，点即为所求.
知识巩固
等腰三角形：
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
②两底角相等；
③“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
④是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴.
（3）判定: ①有两条相等的三角形是等腰三角形；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形.
（2）性质：
①两腰相等；
题型巩固
如图，在中，=，点在边上，在线段的延长线上取点，使得=，连接，是的中线，若=52°，则的度数为（ ）
A. 38° B. 34° C. 32° D. 28°
【解析】∵，，
，
，
，
，
，
D
题型巩固
等腰三角形的底边长为9cm,腰上中线将其周长分成两部分的差为3cm,则腰长为 ．
【解析】设腰长为,则
①，
解得，
∴三边为12、12、9，能组成三角形；
②，
解得 ，
∴三边为6、6、9，
能组成三角形；
∴腰长为12或6．
12或6
题型巩固
如图，在等腰中，，是内一点，连接，，．已知，且．
（1）求证：；
（2）若为边上一点，且，求的度数．
（1）证明：，，
，，
，
，
，
；
题型巩固
如图，在等腰中，，是内一点，连接，，．已知，且．
（1）求证：；
（2）若为边上一点，且，求的度数．
（2）解：，∴，
∵，∴，
在和中， ,
，
，
∴ ，，
，
，
，，
∵，．
知识巩固
等边三角形：
（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形；
（3）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）性质：三边都相等，三个角都相等，每个角都等于60°；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
题型巩固
如图，在等边中，平分，过点作交于点，则图中与相等的线段有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【解析】∵ 是等边三角形，
，，
∵平分，∴，
∵，
，，
∴ 是等边三角形，
∴，∴，
∴，∴
∴图中与相等的线段有4条，
D
题型巩固
在中，，是右侧的线段，且，如图，的平分线与交于点，与交于点．
（1）证明：；
（2）若，则线段之间存在怎样的数量关系，并写出你的理由．
解：（1）证明：，
，
又∵，，
∴ ，
又∵，
∴，
，
又，
；
题型巩固
在中，，是右侧的线段，且，如图，的平分线与交于点，与交于点．
（1）证明：；
（2）若，则线段之间存在怎样的数量关系，并写出你的理由．
解：（2）．
理由：在上截取，
，
∴ 为等边三角形，，
又∵，∴ 为等边三角形，
∴，，
又，，
∵，∴ ∴，
∴．
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
含30°角的直角三角形的重要结论：
知识回顾
题型巩固
如图，在中，，，垂直平分，交于点，cm,则的值为 cm.
【解析】∵垂直平分，
∴cm,
，
，
，
cm.
3
题型巩固
如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【解析】过点作，垂足为.
，
，
，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
C
（1）模型一：在上找一点使最小.
最短路径问题：
知识回顾
作法：连接，与的交点即为点.
原理：最小值为，两点之间，线段最短
在直线l上求一点，使最小
知识回顾
作法：作关于的对称点，连接，与的交点即为点.
原理：，两点之间线段最短
题型巩固
如图所示， 中，，，是的两条中线，，，是上的一个动点，连接，则的最小值是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴共线时，
的值最小，最小值为的长度，
的最小值是8．
C
模型三：（一定两动）
在直线、上分别求点、，使的周长最小.
知识回顾
作法：分别作点关于两直线的对称点和，连与两直线交点即为、
原理：两点之间线段最短；的最小值为线段的长.
题型巩固
如图，内有一点点关于的轴对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若的长为10cm,求的周长为（ ）
A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 15cm
【解析】
∵点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是，
∴，
∵的长为10cm,
∴ 的周长为：10cm,
B
模型五：（造桥选址）
直线，在，上分别求点使，且的值最小
知识回顾
作法：将点向下平移的长度单位得。连接，交于点，过作于.
原理：两点之间线段最短；的最小值为
题型巩固
如图，某河在处直角拐弯，河宽均相同，现要在河流拐弯的两旁分别造桥，桥要与河垂直，问如何造桥可使的路程最短？
解：作，且河宽，作，且河宽，
连接，与河岸相交于．
作即为桥．
证明：由作图法可知，，，
则四边形为平行四边形，
于是，
同理，，
由两点之间线段最短可知，最小；
即当桥建于如图所示位置时，最短
课堂小结
轴对称的定义与性质
画轴对称图形
性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等
判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
垂直平分线的尺规作图
轴对称
轴对称定义
与性质
垂直平分线的性质与判定
等腰三角形
等边三角形
最短路径问题
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形
性质: ①等腰三角形的两个底角相等；
②三线合一
判定：①定义；②如果一个三角形有两个角相
等，那么这两个角所对的边也相等
轴对称
轴对称定义
与性质
垂直平分线的性质与判定
等腰三角形
课堂小结
等边三角形
最短路径问题
定义：三边都相等的三角形是等边三角形
性质：①三边都相等；②三个角都相等，并且每一个角都等于60°；③三边“三线合一”
判定：①定义；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
轴对称
轴对称定义
与性质
垂直平分线的性质与判定
等腰三角形
课堂小结
等边三角形
最短路径问题
一定两动
两定一动
两定两动
过桥问题【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载
