【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载(共35张PPT)
三角形的高、中线
与角平分线及稳定性
八年级上
数学
人教版
第
11
章
授课人：xxx
学习目标
结合生活实例，理解三角形的稳定性
02
熟悉三角形的三条重要线段，并学习运用三条线段的定义，解决三角形相关的周长或面积等问题；
01
知识回顾
问题一：我们已经学习了三角形的边和角，那么与三角形有关的线段还有哪些呢？你能说一说吗？
与三角形有关的线段
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
新知探究
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
问题二：你能画出上图三角形中，另两边的高吗？
新知探究
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
归纳总结
锐角三角形的三条高的交点在三角形内；
直角三角形的三条高的交点在三角形直角顶点；
钝角三角形的三条高所在事项的交点在三角形外部.
三角形的高
新知探究
问题三：你能画出另两条边上的中线吗？
三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
归纳总结
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段叫做三角形的中线
三角形中线
新知探究
问题四：三角形的中线除了平分对边，还有其他的性质吗？
如图所示，是边上的中线，是边上的高.
∵是边上的中线，
∴=,
∴
∴=.
归纳总结
结论：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
推论：三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六个部分.
新课导入
三角形的角平分线
定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
发现：三角形的三条角平分线交于同一点.
问题五：你能画出另两个角的角平分线吗？观察三条角平分线，你有什么发现吗？
新课导入
问题六：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图1），其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条（图2）.为什么要这样做呢？
结论：三角形具有稳定性.
（1）
（2）
新知探究
问题七：如图（1），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三角形木架的形状不会改变
（1）
新知探究
问题八：如图（2），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
四边形木架的形状会改变
（2）
新课导入
问题九：如图（3），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形
（3）
新知探究
问题十：下列图片中存在三角形的稳定性吗？四边形具有稳定性吗？
三角形具有稳定性，如自行车；而四边形不具有稳定性，但是我们也能利用四边形的稳定性给生活提供便利，在生活中也很常见，如活动挂架、伸缩门等
例题精讲
1、如图，中边上的高是（ ）
A.B.C. D.
B
例题精讲
2、三角形中能将三角形的面积分成相等两部分的线段是（ ）
A.中线 B.角平分线 C. 高 D.两边中点的连线
A
例题精讲
3、下列说法中错误的是（ ）
A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部
B. 三角形三条中线都在三角形的内部
C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部
D. 三角形三条高都在三角形的内部
【解析】A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故此说法正确；
B. 三角形三条中线都在三角形的内部，故此说法正确；
C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部，故此说法正确；
D. 直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形的两条高在外部，故此说法错误
D
例题精讲
4、如图，在△中，=5,=3,为边上的中线，则和的周长之差为 （ ）
A. 2 B.3 C. 4 D.5
A
例题精讲
5、如图，中，∠=90°，∠=40°，是∠的平分线，则∠的度数是（ ）
A. 25° B. 50° C.65° D.70°
C
【解析】
∵∠=90°，∠=40°
∴∠=90°-40°=50°
∵是∠的平分线
∴∠=∠=25°
∴∠=180°-∠-∠=180°-25°-40°=115°
∴∠=180°-∠=65°.
例题精讲
6、如图，在△中，∠=63°，∠=51°，是边上的高，是∠的平分线，求∠的度数.
解：∵在△中，∠=63°，∠=51°
∴∠=180°-∠-∠=180°-63°-51°=66°
∵AE是∠的平分线，
∴∠=∠=33°，
在Rt△中，∠=90°-∠=90°-51°=39°
∴∠=39°-33°=6°.
例题精讲
7、如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且平分∠，求∠的度数.
解：在△中，
∵∠=65°，∠=72°
∴∠=43°
∵∠=30°
∴∠=13°
∵平分∠
∴∠=36°
∵∠是的外角，
∴∠=∠+∠=49°
例题精讲
如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是 （ ）
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
A
例题精讲
要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少再钉上 ____根木条.
1
例题精讲
1、如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条的边上的高在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
（2）
（3）
（1）
跟踪训练
1、如图，是的中线，的面积为4cm ，则的面积为（ ）
A. 8cm B.4cm C.2cm D. 以上答案都不对
C
【解析】
∵是的中线，
∴ 的面积是18cm ，
∴的面积=×4=2cm .
跟踪训练
2、填空：
（1）如图（1），，，是的三条中线，则=2_____，=_____，=
(2)如图（2），，，是的三条角平分线，则∠1=_____，∠=，∠=2______.
CD
∠ 2
∠
∠ 4
跟踪训练
3、下列图形中哪些具有稳定性？
具有稳定性的是：（1）（4）（6）
跟踪训练
如图，是的中线，是的中线， =3cm ，则 = _____
12cm
【解析】
∵是△的中线
∴ =2 =6cm
∵AD是△的中线
∴ =2 =12cm
课堂小结
与三角形有关的线段
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
三角形的稳定性
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段
三角形的一条中线可将三角形分成面积相等的两部分
随堂练习
三角形的高是（ ）
A. 射线
B. 线段
C.直线
D.射线或直线
B
随堂练习
如图，是的中线，若：=3:4，
则S△：S△= _____
1:1
随堂练习
如图，在△ABC中，BC、AC边上的高分别是AD、BE，已知BC=5cm，AD=6cm，AC=7cm，求BE的长度.
解：∵、分别是的高
∴==，
∴，
∵，
∴
随堂练习
如图，在△中，∠B=∠C，D,E分别是BC,AC上的点，连接DE，∠1=∠2，∠=40°，求∠的度数.
解：
设∠=°，∠=∠=y°
=°
°
∴∠
∵∠
∴
解得=20
∴∠的度数是20°
随堂练习
如图，在中，为的角平分线，为的高，∠=70°，∠=48°，则∠3的度数为（ ）
A. 59° B. 60° C. 56° D.22°
A
【解析】
∵为△的高，
∴∠=90°
∵∠=70°，∠=48°
∴∠=62°
∵是角平分线
∴∠1=∠=31°
在△中，∠=180°-31°-90°=59°
∴∠3=∠=59°.
随堂练习
1、如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ ）
A. 对顶角相等
B. 两点之间，线段最短
C.三角形具有稳定性
D. 垂线段最短
C
随堂练习
如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
C第
章
八 年 级 上
人 教 版
授课人：xxx
学习目标
熟悉三角形的三条重要线段，并学习运用三条线段的定
01
义，解决三角形相关的周长或面积等问题；
02 结合生活实例，理解三角形的稳定性
知识回顾
问题一：我们已经学习了三角形的边和角，那么与三角形有关的线段
还有哪些呢？你能说一说吗？
三角形的高
与三角形有关的线段 三角形的中线
三角形的角平分线
新知探究
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶
点和垂足间的线段叫做三角形的高
问题二：你能画出上图三角形中，另两边的高吗？
新知探究
三角形的高
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
归纳总结
锐角三角形的三条高的交点在三角形内；
直角三角形的三条高的交点在三角形直角顶点；
钝角三角形的三条高所在事项的交点在三角形外部.
新知探究
三角形中线
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段叫做
三角形的中线
问题三：你能画出另两条边上的中线吗？
归纳总结
三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫
做三角形的重心.
新知探究
问题四：三角形的中线除了平分对边，还有其他的性质吗？
如图所示， 是 边上的中线， 是 边上的高.
∵ 是 边上的中线，
∴ = ,
∴ = ，
∴ △ = △ .
归纳总结
结论：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
推论：三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六个部分.
新课导入
三角形的角平分线
定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个
角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
问题五：你能画出另两个角的角平分线吗？
观察三条角平分线，你有什么发现吗？
发现：三角形的三条角平分线交于同一点.
新课导入
问题六：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图1），
其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常
先在窗框上斜钉一根木条（图2）.为什么要这样做呢？
（1） （2）
结论：三角形具有稳定性.
新知探究
问题七：如图（1），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭
动它，它的形状会改变吗？
（1）
三角形木架的形状不会改变
新知探究
问题八：如图（2），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭
动它，它的形状会改变吗？
（2）
四边形木架的形状会改变
新课导入
问题九：如图（3），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相
邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为
什么？
（3）
斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，因为斜钉一根木条后，
四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在
未安装好之前也不会变形
新知探究
问题十：下列图片中存在三角形的稳定性吗？四边形具有稳定性吗？
三角形具有稳定性，如自行车；而四边形不具有稳定性，但是我们也
能利用四边形的稳定性给生活提供便利，在生活中也很常见，如活动挂架、
伸缩门等
例题精讲
1、如图， 中 边上的高是（ B ）
A. B. C. D.
例题精讲
2、三角形中能将三角形的面积分成相等两部分的线段是（ A ）
A.中线 B.角平分线 C. 高 D.两边中点的连线
例题精讲
3、下列说法中错误的是（ D ）
A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部
B. 三角形三条中线都在三角形的内部
C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部
D. 三角形三条高都在三角形的内部
【解析】A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故此说法正确；
B. 三角形三条中线都在三角形的内部，故此说法正确；
C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部，故此说法正确；
D. 直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形的两条高在外
部，故此说法错误
例题精讲
4、如图，在△ 中， =5, =3, 为 边上的中线，则△
和△ 的周长之差为 （ A ）
A. 2 B.3 C. 4 D.5
例题精讲
5、如图，Δ 中，∠ =90°，∠ =40°， 是∠ 的平分线，则
∠ 的度数是（C ）
A. 25° B. 50° C.65° D.70°
【解析】
∵∠ =90°，∠ =40°
∴∠ =90°-40°=50°
∵ 是∠ 的平分线
∴∠ = ∠ =25°
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-25°-40°=115°
∴∠ =180°-∠ =65°.
例题精讲
6、如图，在△ 中，∠ =63°，∠ =51°， 是 边上的高，
是∠ 的平分线，求∠ 的度数.
解：∵在△ 中，∠ =63°，∠ =51°
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-63°-51°=66°
∵AE是∠ 的平分线，
1
∴∠ = ∠ =33°，
2
在Rt△ 中，∠ =90°-∠ =90°-51°=39°
∴∠ = ∠ ∠ =39°-33°=6°.
例题精讲
7、如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且 平分∠ ，求
∠ 的度数.
解：在△ 中， ∵∠ 是Δ 的外角，
∵∠ =65°，∠ =72° ∴∠ =∠ +∠ =49°
∴∠ =43°
∵∠ =30°
∴∠ = ∠ ∠ =13°
∵ 平分∠
∴∠ = ∠ =36°
例题精讲
如图，一扇窗户打开后，用窗钩 可将其固定，这里所运用的几何原理
是 （ A ）
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
例题精讲
要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少
再钉上 __1__根木条.
例题精讲
1、如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条Δ 的
边 上的高 在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
（1） （2） （3）
跟踪训练
1、如图， 是 的中线， 的面积为4cm ，则 的面积
为（ C ）
A. 8cm B.4cm C.2cm D. 以上答案都不对
【解析】
∵ 是Δ 的中线，
∴ Δ 的面积是18cm ，
∴ Δ 的面积= ×4=2cm .
跟踪训练
2、填空：
（1）如图（1）， ， ， 是Δ 的三条中线，则 =2_ __ __，
1
=__C_D__， = _ __ __
2
(2)如图（2）， ， ， 是Δ 的三条角平分线，则∠1=_∠_ _2__，
1
∠3= _∠__ __ ___ _，∠ =2_∠__ 4___.
2
跟踪训练
3、下列图形中哪些具有稳定性？
具有稳定性的是：（1）（4）（6）
跟踪训练
如 图 ， 是 的中 线 ， 是 的 中 线 ， =3cm ， 则
= 1_2_c_m__
【解析】
∵ 是△ 的中线
∴ =2 =6cm
∵AD是△ 的中线
∴ =2 =12cm
课堂小结
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂
三角形的高
线，顶点和垂足间的线段
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中
点线段
三角形的中线
与三角形有关 三角形的一条中线可将三角形分成面积相
的线段 等的两部分
三角形的一个内角的平分线与这个角的对
三角形的角平分线
边相交，这个角的顶点和交点之间的线段
三角形的稳定性
随堂练习
三角形的高是（ B ）
A. 射线
B. 线段
C.直线
D.射线或直线
随堂练习
如图， 是Δ 的中线，若 ： =3:4，
则S△ ：S△ = __1_:1__
随堂练习
如图，在△ABC中，BC、AC边上的高分别是AD、BE，已知BC=5cm，
AD=6cm，AC=7cm，求BE的长度.
解：∵ 、 分别是△ 的高
∴ △ = · = · ，
∴ · = · ，
∵ = ， = ， = ，
∴ = × ÷ =
随堂练习
如图，在△ 中，∠B=∠C，D,E分别是BC,AC上的点，连接DE，
∠1=∠2，∠ =40°，求∠ 的度数.
解： 解得 =20
设∠ = °，∠ =∠ =y° ∴∠ 的度数是20°
∠ = ∠ + ∠ =（ + ）°
∵ ∠ = ∠ = （ + ）°
∴∠ = ∠ + ∠ = +
∵∠ = ∠ + ∠
∴ + = +
随堂练习
如图，在 中， 为 的角平分线， 为 的高，∠ =70°，
∠ =48°，则∠3的度数为（ A ）
A. 59° B. 60° C. 56° D.22°
【解析】 在△ 中，∠ =180°-31°-90°=59°
∵ 为△ 的高， ∴∠3=∠ =59°.
∴∠ =90°
∵∠ =70°，∠ =48°
∴∠ =62°
∵ 是角平分线
∴∠1= ∠ =31°
随堂练习
1、如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框
ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ C ）
A. 对顶角相等
B. 两点之间，线段最短
C.三角形具有稳定性
D. 垂线段最短
随堂练习
如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（ C ）
A.4 B.3 C.2 D.1
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