(共22张PPT)
第十二章 全等三角形
授课：xxx
角平分线的性质
学习目标
理解并会证明角平分线的性质定理和判定定理；
01
能够应用角平分线的性质定理和判定定理解决几何问题；
02
能够应用角平分线的性质定理和判定定理解决几何问题；
03
知识回顾
请回忆一下，全等三角形的判定定理，有多少种呢？
问题一
学习目标
如图是一个平分角的仪器，其中，.将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
新知探索
已知：.
求作：的平分线.
①以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点.
③画射线，射线即为所求.（如图）
新知探究
角平分线的作法的依据：（证明过程如下）
证明：∵以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
∴.
又∵分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，
∴.
在和中，
,
,
,
∴.
新知探究
思考：你发现了角的平分线的什么性质？
如图，任意作一个角，作出的平分线.在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试.
新知探究
根据刚刚的探索，你发现角平分线有什么性质了呢？
问题二
角平分线的性质：
①角平分线平分已知角；
②角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
新知探究
例1、如图，，点在上，，，垂足分别为，.求证.
证明：∵，，
.
在和中，
，
，
，
∴.
∴.
新知探究
结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
如图，要在区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？
例题精讲
例2、如图，的角平分线，相交于点.求证：点到三边，，的距离相等.
证明：过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为，，.
∵是的角平分线，点在上，
∴.
同理.
∴.
即点P到三边，，的距离相等
思考：点在的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
跟踪练习
1、如图，在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等.
跟踪练习
2、如图，的两个外角的平分线与相交于点.求证：点到三边，，所在直线的距离相等.
证明：过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，作，交于点.
∵是的平分线，，，
∴.
又∵是的平分线，，，
∴.
∴，
即点到三边，，所在直线的距离相等.
新知探究
根据刚刚的学习，你知道如何判定一条射线是角平分线吗？
问题三
角平分线的判定；
①将一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线；
②角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
课堂小结
角平分线
角平分线的性质
角平分线的判定
①证明角相等
②角平分线上的点到角两边的距离相等
①直接证明角相等
②证明角平分线上的点到角两边的距离相等
随堂练习
如图，在中，，的平分线相交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
.∠1>∠2
. ∠1=∠2
.∠1<∠2
. 不能确定∠1与∠2的关系
随堂演练
如图，在上求一点，使它到、的距离相等，则点是（ ）
.线段的中点
. 与的平分线的交点
. 与的平分线的交点
. 与的平分线的交点
随堂练习
例3、如图，在中，=90°，作出的平分线与交于点，且=3，=10，则的面积为（ ）
.10
.15
. 20
. 30
随堂练习
如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若=2，则的最小值为（ ）
.1
. 2
. 3
. 4
随堂练习
如图，已知中，，点是边的中点，于点，于点.求证：平分.
证明：∵，，
∴△和是直角三角形.
在和中
,
,
∴（）.
∴.
又∵,，
∴平分.
随堂练习
如图，，，.,垂足为.
求证：.
证明：∵，，
∴.
∴.
又∵,
∴ .
∵ ，，
∴ 90°.
在和中，
，
，
,
∴ .
∴ .
随堂练习
解（1）作的平分线交于点，如图.
（2）过点作于于，如图.
∵为的平分线，
∴.
∵+=，
∴×6+×7=24,
即3+=24,解得=.
∴点到的距离为.
现要在的边上确定一点，使得点到,的距离相等.
（1）如图，请你按照要求，在图上确定出点的位置.(尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹).
（2）若=6，=7，的面积为24，求点到的距离.【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载
