北师大版九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定 试题（含详解）

1.1 菱形的性质与判定
一、选择题。
1．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
2．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（　　）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
3．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
4．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
5．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．7.5 C．5 D．2.5
6．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（　　）
A．2 B．2 C． D．
8．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，F、F为垂足，AE＝ED，则∠EBF等于（　　）
A．75° B．60° C．50° D．45°
9．如图，菱形ABCD中，∠1＝15°，则∠D＝（　　）
A．130° B．125° C．120° D．150°
10．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE． 求证：四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
二、填空题。
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝　 　．
12．菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积是　 　cm2．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥BC，垂足为E．若AC＝8，BD＝6，则DE的长为　 　．
16．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是　 　．
17．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，以AC、BD的交点，O为圆心，OC为半径作弧交BC于点E，再分别以点E、C为圆心，大于EC的长为半径作弧交于点F（作图痕迹如图所示），作射线OF交BC于点M，若OM＝3，则AC的长是　 　．
18．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝　 　．
三、解答题。
19．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6，求：
（1）∠BAD，∠ABC的度数．
（2）AB，AC的长．
20．如图，已知菱形ABCD，点E和点F分别在BC、CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：∠BAE＝∠DAF．
21．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝45°．
（1）试建立适当的平面直角坐标系表示该菱形，并写出其各顶点的坐标．
（2）若要计算出该菱形的面积，你有什么办法？
22．如图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF，求证：四边形BEDF为菱形．
23．已知：菱形ABCD中，对角线AC＝16cm，BD＝12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．
24．如图，菱形ABCD中，AC＝2，BD＝5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积为 　 　．
25．如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝2，求BD的长．
26．点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，作FG∥AE，交AC的延长线于点G，连接AF、EG．
（1）如图1，求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如图2，当AF平分∠CAD时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括腰长等于AB的等腰三角形）．
27．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
求证：四边形OBEC是菱形．
答案
一、选择题。
1．C。
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1；
故选：C．
2．B。
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE＝16．
故选：B．
3．A。
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD＝24，
∴AC×BD＝48，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝×48＝3；
故选：A．
4．A。
【解答】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
5．D。
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，
∴菱形ABCD的面积＝×2×5＝5，
∴S△ABC＝，
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴S△PEF＝S△APE＝S平行四边形AEPF，
∴阴影部分的面积＝S△ABC＝，
故选：D．
6．A。
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，
∵PE⊥CD，AB∥CD，
∴PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，
故选：A．
7．B。
【解答】解：过点A作AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝2，AE＝2．
即边AD与BC之间的距离为2．
故选：B．
8．B。
【解答】解：连接BD．
∵BE⊥AD，AE＝ED，
∴BD＝AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
又∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BED+∠BFD＝180°，
∴∠ADC+∠EBF＝180°，
又∵∠ADC+∠A＝180°，
∴∠EBF＝∠A＝60°．
故选：B．
9．D。
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝2∠1，AB∥DC，
∴∠DAB+∠D＝180°，
∵∠1＝15°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，
故选：D．
10．A。
【解答】解：甲：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE＝DE，BF＝BE，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∴四边形FBED是菱形；
乙：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴OA+AF＝OC+CE，
即OF＝OE，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形FBED是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
二、填空题。
11．。
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
12．24。
【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S＝ab＝×6×8＝24cm2，
故答案为：24．
13．。
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC＝3，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AB DE＝AC BD，
∴DE＝＝，
故答案为．
14．65°。
【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
15．。
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，OD＝3，由勾股定理得：AD＝5，
∴BC＝5，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×DE，
∴×6×8＝5×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
16．25°。
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝65°，
∵DH⊥AB，BO＝DO，
∴HO＝DO，
∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，
故答案为25°．
17．4。
【解答】解：由题意可得OM⊥BC，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ABC＝60°，∠DBC＝∠ABD＝30°，
∴BO＝2OM＝6，BO＝CO，
∴CO＝2，
∴AC＝2OC＝4，
故答案为4．
18．9.6。
【解答】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD AG＝AB OE+AD OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
三、解答题。
19．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，∠BCD＝2∠ACD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°；
（2）∵△BCD为等边三角形，BD＝6，
∴BC＝DC＝AB＝6，
∴DC＝3，
∴，
∴AC＝2CO＝6．
20．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
21．解：（1）以B为坐标原点，菱形的边BC所在直线为x轴，BC所在直线的垂线为y轴建立直角坐标系，如图，
过点A作AE⊥BC于点E，
∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝45°．
∴AE＝BE＝＝6×＝3．
∵AD∥BC，
∴A（3，3），B（0，0），C（6，0），D（6+3，3）；
（2）∵AE⊥BC，AE＝3，BC＝6，
∴＝＝9．
22．证明：∵四边形ABCD为菱形，AE＝CF，
∴∠BAE＝∠BCF，AB＝BC，
在△BAE和△BCF中，
∵，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF，
同理可得：△BAE≌△DCF≌△DAE，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF为菱形．
23．解：菱形ABCD的面积S＝×16×12＝96，
∵AC⊥BD，∴AB＝10，
∴CD＝AB＝10，
∴×CD×BE＝48，
∴BE＝cm，
所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE的长为cm．
24．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO＝2.5，
∵AD∥BC，AB∥DC，
又∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PF∥AB，PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5．
故答案为：2.5．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD．
∵E，F分别是BC，AD的中点
∴BE＝CE＝BC，AF＝AD，
∴CE＝AF，CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：作BG⊥AD于G，如图所示：
则∠ABG＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AG＝AB＝1，BG＝AG＝，
∵AD＝BC＝2AB＝4，
∴DG＝AG+AD＝5，
∴BD＝＝＝2．
26．（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG＝∠FGA，
∴∠FAG＝∠FGA，
∴FG＝AF＝AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AEGF是菱形；
（2）解：△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．
理由如下：
由（1）及菱形的性质可得△AEG、△AFG是等腰三角形，
∴∠FAC＝∠FGA，
∵∠DAC＝2∠FAC，
∴∠DAC＝2∠FGA，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA＝∠FGA+∠CFG，
∴2∠FGA＝∠FGA+∠CFG，
∴∠FGA＝∠CFG，
∴△CFG是等腰三角形，
同理可得△CEG是等腰三角形，
∴符合要求的等腰三角形为△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．
27．证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴四边形OBEC是菱形．