北师大版九年级数学上册 期末综合检测试卷 （含详解）

北师大版九年级数学上期末综合检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1. 已知，，且 ，则sinA
与的关系为 ( )
A. B.
C. D. 不确定
2. 如图是有几个相同的小正方体组成的一个几何体．它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4. 用配方法将方程变形，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 如图所示，设A为反比例函数图象上一点，且的面积为3，则这个反比例函数解析式为
A. B. C. D.
7. 某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（　　）
A. 100（1﹣2x）=90 B. 100（1+2x）=90
C. 100（1﹣x）2=90 D. 100（1+x）2=90
8. 方程x2 ＝ 2x的解是（ ）
A. x＝2 B. ，＝ 0 C. ＝2，＝0 D. x ＝ 0
9. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为
A 1 B. C. D.
二、填空题（共10题；共30分）
11. 已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=_______
12. 一个不透明的袋子中有1个白球、3个黄球和2个红球，这些球除颜色外都相同.将袋子中的球搅拌均匀，从中一次随机摸出两个球都是黄球的概率为________.
13. 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．地毯中央长方形图案的面积为18m2 ， 那么花边有多宽？设花边的宽为x, 则可得方程为________．
14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，则对角线AC的长度为________ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．
16. 一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000条，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为30%，则水塘有鲢鱼 ________ 条．
17. 如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点E为边AB上一点，AE=2，点F为线段AB上一点，且BF=3，过点E作AC的平行线交BC于点D，作直线FD交AC于点G，则FG=________ ．

18. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0根，则 ABCD的周长是___________．
19. 如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=______.
20. 如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为________．
三、解答题（共8题；共60分）
21. 画出如图所示图形从正面、从左面和从上面看到的形状图．
22. 有两组牌，每组牌都是4张，牌面数字分别是1，2，3，4，从每组牌中任取一张，求抽取的两张牌的数字之和等于5的概率，并画出树状图．
23. 如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积．
24. 如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2，求AB的长度．（可利用的围墙长度不超过3m）
25. 在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E、F 分别在 AD 及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF ≌△CDE；
（2）若 DE =BC，试判断四边形 BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论．
26. 一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色以外，其余都相同），其中红球2个，黄球2个，从中随机摸出一个球是蓝色球的概率为 ．
（1）求袋子里蓝色球的个数；
（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），求摸出两个球中一个是红球一个是黄球的概率．
27. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．
28.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．
答案
一、单选题
1. B
【解析】
【分析】根据，可得，再根据三角函数值只与角的大小有关即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B
2.B
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看到的图判定即可．
【详解】解：左面看去得到的正方形第一层是2个正方形，第二层是1个正方形．
故选：B
3.A
【解析】
【分析】根据特殊四边形判定方法进行判断．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D不符合题意．
故选：A．
4. D
【解析】
【分析】把常数项-11移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【详解】解：把方程x2+6x-11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9，
配方得（x+3）2=20．
故选：D．
5. D
【解析】
【详解】试题分析：根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD． ∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC， ∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE， ∴∠ACD=120°﹣60°=60°， ∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，AC=AD=DE=CE， ∴四边形ACED是菱形，
∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD， ∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，∴①②③都正确
6. D
【解析】
【详解】试题分析：由的面积为3根据反比例函数k的几何意义求解即可.
∵的面积为3，反比例函数的图象有一支在第二象限
∴
故选D.
7. C
【解析】
【详解】试题解析：设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1-x），第二次后的价格是100（1-x）2，据此根据题意得：100（1-x）2=90．
故选C.
8. C
【解析】
【分析】先移项得到x2－2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x－2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x－2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【详解】解：∵x2－2x＝0，
∴x（x－2）＝0，
∴x＝0或x－2＝0，
∴＝2，＝0．
故选：C．
9. C
【解析】
【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C'DE，利用勾股定理可求出．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'DE（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，由勾股定理得：
解得x=5
故选：C．
10. C
【解析】
【详解】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．
在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．
∵正方形的边长为4，∴BD=．∴BE=BD－DE=．
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．
∴EF=BE==．
故选：C．
二、填空题
11. k=2．
【解析】
【详解】试题分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．
试题解析：依题意，得
2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，
解得，k=2．
12.
【解析】
【详解】试题分析：画树形图得：
所以两次都摸到白球的概率==．故答案为．
13. （8-2x）(5-2x)=18
【解析】
【详解】设花边的宽为m，则中央长方形图案的长为m，宽为m，根据题意可得方程：.
14.8
【解析】
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，可知OA＝OB＝OC＝OD，然后由∠AOD=120°可求得∠AOB＝60°，证明△OAB是等边三角形，求出OA＝AB＝4即可得出答案．
【详解】解：在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
故答案为：8．
15.－2．
【解析】
【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【详解】设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：am2+2m=m，
解得：a=-，
则ac=-2m=-2．
16. 7000
【解析】
【详解】试题分析：∵水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000条，
一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为30%，
∴鲤鱼出现的频率为70%，
∴水塘有鲢鱼有10000×70%=7000条．
故答案是7000．
17.
【解析】
【分析】根据已知条件得到AF=3,EF=1,由DE∥AC,得到△BED~△ABC,根据相似三角形的性质得到,即,求得DE=,通过△DEF~△GAF,得到,于是得到,可得AG=16,根据勾股定理即可得到结论.
【详解】解:如图
AB=6,BF=3,AF=3,
AE=2,EF=1,
DE∥AC
△BED~△ABC,
即:
DE=，
DE∥AC,
ADEF~AGAF,
AG=16,
FG==
故答案为:.
18. 4+2
【解析】
【分析】先解一元二次方程求出a，再使用勾股定理求得AB，从而计算平行四边形的周长．
【详解】解：因为，a是一元二次方程的根，
所以，
即，
解得a=1或a=-3（不符合题意，舍去），
所以AE=EB=EC=a=1，
在Rt△ABE中，AB=，
所以，BC=EB+EC=2，
所以，□ABCD的周长=2（AB+BC）
=2．
【点睛】
【解析】
【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+ AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．
【详解】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，
∴AO=2OD，OB=2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，
∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，
∴BO2+AO2= ，
∴BO2+AO2=5，
∴AB==．
故答案是：．
20. 1.5
【解析】
【分析】求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【详解】∵DE=1，DC=3，
∴EC=3-1=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
∴，
∴DF=1.5，
故答案为1.5．
三、解答题
21.如图所示：
22. 解：如图，
共有16种等可能的情况，和为5的情况有4种，
∴P（和为5）= ．
23. 如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积．
【答案】2000或1920
【解析】
【分析】利用矩形的性质得出△ADG∽△ABC，然后利用相似三角形对应高的比等于相似比求出矩形的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．
【详解】∵矩形DEFG中DG∥EF，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，∴△ADG∽△ABC，∴．
①若DE为宽，则，∴DG=50，此时矩形的面积是：50×40=2000平方米；
②若DG为宽，则，∴DE=48，此时矩形的面积是：48×40=1920平方米．
24. 解：设m，则 m . ………1分
根据题意可得， . ………2分
解得 ………4分
答：AB的长为1 m.
【解析】
【详解】试题分析：设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6-2x），（6-2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
试题解析：设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米．
依题意，得x（6-2x）=4．
整理，得x2-3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．
所以当x=1时，6-2x=4；
当x=2时，6-2x=2（舍去）．
答：AB的长为1米．
25. 在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E、F 分别在 AD 及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF ≌△CDE；
（2）解：（1）∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD．
∵D是BC边的中点，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDE中， ，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
（2）四边形BFCE是矩形．理由如下：
∵△BDF≌△CDE，
∴DE=DF，
又∵BD=DC，
∴四边形BFCE是平行四边形．
∵DE=BC，DE=EF，
∴BC=EF，
∴平行四边形BFCE是矩形．
26.（1）设袋子里蓝色球个数为x，
根据题意得：，
解得：x=1，
答：袋子里蓝色球的个数为1；
（2）画树状图如下：
由树状图可知：所有可能出现的结果共有20种，符合题意的结果有8种，
∴P（一个是红球一个是黄球）==，
答：摸出的两个球中一个是红球一个是黄球的概率为．
27. 根据题意，得2（x+×400）+2××300+200×80=47200，
整理，得﹣39x+350=0，
解得=25，=14，
∵x=25＞16，
∴x=25不合题意，舍去．
∵x=14＜16，=＜16，
∴x=14符合题意．
所以，池长为14米．
28. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，
∵BF=DH，
∴AH=CF，
在Rt△AEH中，EH=，
在Rt△CFG中，FG=，
∵AE=CG，
∴EH=FG，
同理：EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，
设AE=x，则BE=x+1，
在Rt△BEF中，∠BEF=45°，
∴BE=BF，
∵BF=DH，
∴DH=BE=x+1，
∴AH=AD+DH=x+2，
在Rtt△AEH中，tan∠AEH=2，
∴AH=2AE，
∴2+x=2x，
解得：x=2，
AE=2．