江苏省连云港市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省连云港市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 150.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-18 08:43:49 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填在题中横线上.
1．命题“ x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是 ．
2．在△ABC中，若a=2，A=60°，则= ．
3．在等比数列{an}中，若a5=2，a6=3，则a7= ．
4．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
5．若椭圆+=1的焦点在x轴上，离心率e=．则m= ．
6．若x≥0，y≥0，2x+3y≤10，2x+y≤6，则z=3x+2y的最大值是 ．
7．已知lgx+lgy=1，则2x+5y的最小值为 ．
8．抛物线y2=2px（p＞0）的准线恰好是双曲线﹣=1的一条准线，则该抛物线的焦点坐标是 ．
9．已知数列1，a1，a2，a3，9是等差数列，数列﹣9，b1，b2，b3，﹣1是等比数列，则的值为 ．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a2、b2、c2成等差数列，则角B的取值范围是 ．
11．不等式ax2+4x+a＜1﹣2x2对 x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．
12．设数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），若数列{an}为等差数列，则t= ．
13．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
14．在△ABC中，AC=1，BC=，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，bn=，n∈N*．
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若S7=7，S15=75，求数列{4}的前n项和Tn．
16．已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0．
（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的取值范围．
17．某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
18．在△ABC中，已知tanA=，tanB=．
（1）若△ABC最大边的长为，求最小边的长；
（2）若△ABC的面积为6，求AC边上的中线BD的长．
19．已知二次函数f（x）的二次项数为a，且不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2）．
（1）若函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（2）若对 x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），且过点E（，），设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之和为1，求点M的坐标；
（3）求OM ON的值．
2015-2016学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填在题中横线上.
1．命题“ x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是 x∈R，x2﹣x+1≥0 ．
【考点】命题的否定．
【专题】计算题；规律型；概率与统计．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是： x∈R，x2﹣x+1≥0．
故答案为： x∈R，x2﹣x+1≥0．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2．在△ABC中，若a=2，A=60°，则= 4 ．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；解三角形．
【分析】根据题意，结合正弦定理可得=，将a=2，A=60°代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，由正弦定理可得=，
而a=2，A=60°，则===4，
即=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查正弦定理的运用，熟练运用正弦定理是解题的关键．
3．在等比数列{an}中，若a5=2，a6=3，则a7= ．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；规律型；等差数列与等比数列．
【分析】根据题意，由等比数列{an}中，a5、a6的值可得公比q的值，进而由a7=a6×q计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，
若a5=2，a6=3，则q==，
则a7=a6×q=3×=；
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的性质，注意先由等比数列的性质求出该数列的公比．
4．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题．
【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．
【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，
可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，
解方程可得cosC=，
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键．
5．若椭圆+=1的焦点在x轴上，离心率e=．则m= 81 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程以及焦点的位置，可得a=，b==6，进而可得c的值，由椭圆离心率的计算公式可得e===，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1且其焦点在x轴上，
那么有a=，b==6，
则c==，
其离心率e===，
解可得m=81；
故答案为：81．
【点评】本题考查椭圆的性质，掌握椭圆的离心率的计算公式是解题的关键．
6．若x≥0，y≥0，2x+3y≤10，2x+y≤6，则z=3x+2y的最大值是 10 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】转化思想；数形结合法；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=3x+2y得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，
此时z也最大，
由，解得，即A（2，2）
将A（2，2）代入目标函数z=3x+2y，
得z=3×2+2×2=6+4=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
7．已知lgx+lgy=1，则2x+5y的最小值为 20 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】利用对数求出x，y的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可．
【解答】解：lgx+lgy=1，可得，xy=10，x，y＞0．
则2x+5y≥2=20．当且仅当x=y=时，函数取得最小值．
故答案为：20．
【点评】本题考查基本不等式求解表达式的最值，对数的运算法则的应用，考查计算能力．
8．抛物线y2=2px（p＞0）的准线恰好是双曲线﹣=1的一条准线，则该抛物线的焦点坐标是 （，0） ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程即可得出p．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣．
由双曲线﹣=1，得a2=4，b2=5，c==3．
取此双曲线的一条准线x=﹣=﹣=﹣，
解得：p=，
∴焦点坐标是（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】熟练掌握双曲线与抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．
9．已知数列1，a1，a2，a3，9是等差数列，数列﹣9，b1，b2，b3，﹣1是等比数列，则的值为 ﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式求解．
【解答】解：∵数列1，a1，a2，a3，9是等差数列，
数列﹣9，b1，b2，b3，﹣1是等比数列，
∴a1+a3=1+9=10，
=±3，
∵b2与﹣9同号，∴b2=﹣3，
∴=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a2、b2、c2成等差数列，则角B的取值范围是 ．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的定义和性质可得2b2=a2 +c2 ，再由余弦定理可得cosB=，利用基本不等式可得cosB≥，从而求得角B的取值范围．
【解答】解：由题意可得2b2=a2 +c2 ，由余弦定理可得cosB==≥，
当且仅当a=c时，等号成立．
又 0＜B＜π，∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥，是解题的关键．
11．不等式ax2+4x+a＜1﹣2x2对 x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣3） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立，讨论a+2=0，a+2＜0，判别式小于0，a+2＞0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立，
当a+2=0，即a=﹣2时，不等式为4x﹣3＜0不恒成立；
当a+2＜0，即a＜﹣2，判别式小于0，即16﹣4（a+2）（a﹣1）＜0，
解得a＞2或a＜﹣3，可得a＜﹣3；
当a+2＞0，不等式不恒成立．
综上可得，a的范围是a＜﹣3．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
【点评】本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
12．设数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），若数列{an}为等差数列，则t= 3 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），n分别取1，2，3，可得：a1，a2，a3．由于数列{an}为等差数列，可得2a2=a1+a3，即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），
n分别取1，2，3，可得：a1=2t﹣4，a2=16﹣4t，a3=12﹣2t．
∵数列{an}为等差数列，
∴2a2=a1+a3，
∴2（16﹣4t）=2t﹣4+（12﹣2t），
解得t=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设P（x0，y0），则线段OP的中点为M．把点M的坐标代入直线AF的方程可得： +=1，与+=1联立，利用△≥0，及其离心率计算公式即可得出．
【解答】解：设P（x0，y0），则线段OP的中点为M．
直线AF的方程为： =1，
把点M的坐标代入可得： +=1，
与+=1联立可得：﹣4a2cx0+3a2c2=0，
△=16a4c2﹣12a2c2（a2+c2）≥0，
化为a2≥3c2，
解得．
∴椭圆C的离心率的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．在△ABC中，AC=1，BC=，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为 3 ．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】设∠ABC=α，AB=BD=a，由余弦定理，得CD2=2+a2+2sinα，cosα=，由此能求出当∠C变化时，线段CD长的最大值．
【解答】解：设∠ABC=α，AB=BD=a，
在△BCD中，由余弦定理，
得CD2=BD2+BC2﹣2BD BC cos（90°+α）=2+a2+2sinα，
在△ABC中，由余弦定理，得cosα=，
∴sinα=，∴CD2=，
令t=2+a2，则CD2=t+=t+≤+5=9，
当（t﹣5）2=4时等号成立．
∴当∠C变化时，线段CD长的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
二、解答题：本大题共6小题，计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，bn=，n∈N*．
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若S7=7，S15=75，求数列{4}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列的定义及其前n项和公式即可证明；
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn=na1+d，
∴bn==a1+d，
∴bn+1﹣bn=a1+d﹣a1﹣d=d为常数，
∴数列{bn}是等差数列，首项为a1，公差为d．
（2）解：设等差数列{an}的公差为d，
∵S7=7，S15=75，
∴，解得a1=﹣2，d=1．
∴bn=﹣2+（n﹣1）=．
∴4=2n﹣5．
∴数列{4}的前n项和Tn==．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0．
（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别求出关于p，q的x的范围，根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：∵p：x2﹣2x﹣8≤0，∴﹣2≤x≤4，
∵q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0，∴﹣2m≤x≤m；
（1）若q是p的必要不充分条件，
则p q，
∴，（=不同时成立），
解得：m≥4；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
故（=不同时成立），
解得：m≤1．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．
17．某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用；数列的应用．
【专题】计算题；应用题．
【分析】（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；
（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n …
=…
=0.1n2+n+14.4…
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…
=++1≥2+1
=2×1.2+1=3.4
仅当，即n=12时，等号成立．…
故：汽车使用12年报废为宜．…
【点评】本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．
18．在△ABC中，已知tanA=，tanB=．
（1）若△ABC最大边的长为，求最小边的长；
（2）若△ABC的面积为6，求AC边上的中线BD的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）利用tanC=﹣tan（A+B）=﹣1，求出内角C的大小，可得AB=，BC为所求，求出sinA，再利用正弦定理即可求出最小边的边长．
（2）由已知及（1）可得sinB=，sinA=，sinC=，由正弦定理可得S△ABC=absinC=（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，解得R的值，从而可求b=6，a=4，利用余弦定理即可求得BD的值．
【解答】解：（1）∵C=π﹣（A+B），tanA=，tanB=，
∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1，
又∵0＜C＜π，∴C=；
∴△ABC最大边为AB，且AB=，最小边为BC，
由tanA==，sin2A+cos2A=1且A∈（0，），得sinA=．
∵，
∴BC=AB =．
即最小边的边长为．
（2）由tanB==，sin2B+cos2B=1且B∈（0，），得sinB=，
由（1）可得：sinA=，sinC=，
∵由已知及正弦定理可得：S△ABC=absinC=（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，
整理可得：R2×××=6，解得：R=2，b=AC=2RsinB=6，a=2RsinA=4，
∴由余弦定理可得：BD===．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于中档题．
19．已知二次函数f（x）的二次项数为a，且不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2）．
（1）若函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（2）若对 x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，由题意可得1，2为方程ax2+（b+1）x+c=0的解，运用韦达定理，可得b=3a﹣1，c=2a，a＜0，再由零点的求法，即可得到a的值，进而得到函数的解析式；
（2）由题意可得a≥在[0，3]的最大值，由g（x）=的导数，即可判断单调性，求得最大值，进而得到a的范围；
（3）运用判别式，判断大于0恒成立，求得方程的两根，判断大小，运用二次不等式的解法即可得到所求解集．
【解答】解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，
不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2），
即有1，2为方程ax2+（b+1）x+c=0的解，
即1+2=﹣，1×2=，
可得b=3a﹣1，c=2a，a＜0，
即有函数y=f（x）+2a=ax2+（3a﹣1）x+4a，
由函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，
可得判别式为0，即（3a﹣1）2﹣16a2=0，
解得a=﹣1或（舍去），
即有f（x）=﹣x2﹣4x﹣2；
（2）对 x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，
即为ax2+（3a﹣1）x+2a+4≥0，
即有a≥在[0，3]的最大值，
由g（x）=的导数为g′（x）=，
由于﹣x2+8x+14＞0在[0，3]上恒成立，
即有g′（x）＞0，g（x）递增，
可得g（3）取得最大值，且为﹣，
则﹣≤a＜0；
（3）f（x）≥0，即为ax2+（3a﹣1）x+2a≥0，（a＜0），
判别式△=（3a﹣1）2﹣8a2=a2﹣6a+1＞0恒成立，
由方程ax2+（3a﹣1）x+2a=0的两根为x1=，
x2=，a＜0，
可得x1＞x2，
则不等式f（x）≥0的解集为[，]．
【点评】本题考查二次函数和二次不等式及二次方程的关系，考查函数的零点的问题的解法，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性求得最值，考查含参不等式的解法，属于中档题．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），且过点E（，），设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之和为1，求点M的坐标；
（3）求OM ON的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得c，即a2﹣b2=3，将已知点代入椭圆方程，解方程，即可得到所求椭圆方程；
（2）A1（0，1），A2（0，﹣1），P（m，n），即有+n2=1，运用直线的斜率公式，解方程可得m，n，再由三点共线的条件：斜率相等，即可得到M的坐标；
（3）设出M，N的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合P在椭圆上，满足椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由题意可得c=，即a2﹣b2=3，
过点E（，），可得+=1，
解得a=2，b=1，
即有椭圆方程为+y2=1；
（2）A1（0，1），A2（0，﹣1），P（m，n），
即有+n2=1，
=， =，
由题意可得+=1，即为m=2n，
解方程可得m=，n=或m=﹣，n=﹣，
设M（t，0），由P，A1，M三点共线，
可得=，解得t=，
即有t=2±2，
即有M（，2﹣2，0）或（2+2，0）；
（3）由（2）可得A1（0，1），A2（0，﹣1），P（m，n），
即有+n2=1，即为1﹣n2=，
设M（t，0），由P，A1，M三点共线，可得
=，解得t=；
设N（s，0），由P，A2，N三点共线，可得
=，解得s=，
即有OM ON=||=4．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率的公式的运用，同时考查三点共线的条件：斜率相等，以及化简整理的能力，属于中档题．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填在题中横线上.
1．命题“ x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是 ．
2．在△ABC中，若a=2，A=60°，则= ．
3．在等比数列{an}中，若a5=2，a6=3，则a7= ．
4．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
5．若椭圆+=1的焦点在x轴上，离心率e=．则m= ．
6．若x≥0，y≥0，2x+3y≤10，2x+y≤6，则z=3x+2y的最大值是 ．
7．已知lgx+lgy=1，则2x+5y的最小值为 ．
8．抛物线y2=2px（p＞0）的准线恰好是双曲线﹣=1的一条准线，则该抛物线的焦点坐标是 ．
9．已知数列1，a1，a2，a3，9是等差数列，数列﹣9，b1，b2，b3，﹣1是等比数列，则的值为 ．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a2、b2、c2成等差数列，则角B的取值范围是 ．
11．不等式ax2+4x+a＜1﹣2x2对 x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．
12．设数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），若数列{an}为等差数列，则t= ．
13．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
14．在△ABC中，AC=1，BC=，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，bn=，n∈N*．
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若S7=7，S15=75，求数列{4}的前n项和Tn．
16．已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0．
（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的取值范围．
17．某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
18．在△ABC中，已知tanA=，tanB=．
（1）若△ABC最大边的长为，求最小边的长；
（2）若△ABC的面积为6，求AC边上的中线BD的长．
19．已知二次函数f（x）的二次项数为a，且不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2）．
（1）若函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（2）若对 x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），且过点E（，），设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之和为1，求点M的坐标；
（3）求OM ON的值．
2015-2016学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填在题中横线上.
1．命题“ x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是 x∈R，x2﹣x+1≥0 ．
【考点】命题的否定．
【专题】计算题；规律型；概率与统计．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是： x∈R，x2﹣x+1≥0．
故答案为： x∈R，x2﹣x+1≥0．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2．在△ABC中，若a=2，A=60°，则= 4 ．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；解三角形．
【分析】根据题意，结合正弦定理可得=，将a=2，A=60°代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，由正弦定理可得=，
而a=2，A=60°，则===4，
即=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查正弦定理的运用，熟练运用正弦定理是解题的关键．
3．在等比数列{an}中，若a5=2，a6=3，则a7= ．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；规律型；等差数列与等比数列．
【分析】根据题意，由等比数列{an}中，a5、a6的值可得公比q的值，进而由a7=a6×q计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，
若a5=2，a6=3，则q==，
则a7=a6×q=3×=；
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的性质，注意先由等比数列的性质求出该数列的公比．
4．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题．
【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．
【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，
可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，
解方程可得cosC=，
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键．
5．若椭圆+=1的焦点在x轴上，离心率e=．则m= 81 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程以及焦点的位置，可得a=，b==6，进而可得c的值，由椭圆离心率的计算公式可得e===，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1且其焦点在x轴上，
那么有a=，b==6，
则c==，
其离心率e===，
解可得m=81；
故答案为：81．
【点评】本题考查椭圆的性质，掌握椭圆的离心率的计算公式是解题的关键．
6．若x≥0，y≥0，2x+3y≤10，2x+y≤6，则z=3x+2y的最大值是 10 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】转化思想；数形结合法；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=3x+2y得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，
此时z也最大，
由，解得，即A（2，2）
将A（2，2）代入目标函数z=3x+2y，
得z=3×2+2×2=6+4=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
7．已知lgx+lgy=1，则2x+5y的最小值为 20 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】利用对数求出x，y的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可．
【解答】解：lgx+lgy=1，可得，xy=10，x，y＞0．
则2x+5y≥2=20．当且仅当x=y=时，函数取得最小值．
故答案为：20．
【点评】本题考查基本不等式求解表达式的最值，对数的运算法则的应用，考查计算能力．
8．抛物线y2=2px（p＞0）的准线恰好是双曲线﹣=1的一条准线，则该抛物线的焦点坐标是 （，0） ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程即可得出p．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣．
由双曲线﹣=1，得a2=4，b2=5，c==3．
取此双曲线的一条准线x=﹣=﹣=﹣，
解得：p=，
∴焦点坐标是（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】熟练掌握双曲线与抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．
9．已知数列1，a1，a2，a3，9是等差数列，数列﹣9，b1，b2，b3，﹣1是等比数列，则的值为 ﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式求解．
【解答】解：∵数列1，a1，a2，a3，9是等差数列，
数列﹣9，b1，b2，b3，﹣1是等比数列，
∴a1+a3=1+9=10，
=±3，
∵b2与﹣9同号，∴b2=﹣3，
∴=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a2、b2、c2成等差数列，则角B的取值范围是 ．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的定义和性质可得2b2=a2 +c2 ，再由余弦定理可得cosB=，利用基本不等式可得cosB≥，从而求得角B的取值范围．
【解答】解：由题意可得2b2=a2 +c2 ，由余弦定理可得cosB==≥，
当且仅当a=c时，等号成立．
又 0＜B＜π，∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥，是解题的关键．
11．不等式ax2+4x+a＜1﹣2x2对 x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣3） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立，讨论a+2=0，a+2＜0，判别式小于0，a+2＞0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立，
当a+2=0，即a=﹣2时，不等式为4x﹣3＜0不恒成立；
当a+2＜0，即a＜﹣2，判别式小于0，即16﹣4（a+2）（a﹣1）＜0，
解得a＞2或a＜﹣3，可得a＜﹣3；
当a+2＞0，不等式不恒成立．
综上可得，a的范围是a＜﹣3．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
【点评】本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
12．设数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），若数列{an}为等差数列，则t= 3 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），n分别取1，2，3，可得：a1，a2，a3．由于数列{an}为等差数列，可得2a2=a1+a3，即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足2n2﹣（t+an）n+an=0（t∈R，n∈N*），
n分别取1，2，3，可得：a1=2t﹣4，a2=16﹣4t，a3=12﹣2t．
∵数列{an}为等差数列，
∴2a2=a1+a3，
∴2（16﹣4t）=2t﹣4+（12﹣2t），
解得t=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设P（x0，y0），则线段OP的中点为M．把点M的坐标代入直线AF的方程可得： +=1，与+=1联立，利用△≥0，及其离心率计算公式即可得出．
【解答】解：设P（x0，y0），则线段OP的中点为M．
直线AF的方程为： =1，
把点M的坐标代入可得： +=1，
与+=1联立可得：﹣4a2cx0+3a2c2=0，
△=16a4c2﹣12a2c2（a2+c2）≥0，
化为a2≥3c2，
解得．
∴椭圆C的离心率的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．在△ABC中，AC=1，BC=，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为 3 ．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】设∠ABC=α，AB=BD=a，由余弦定理，得CD2=2+a2+2sinα，cosα=，由此能求出当∠C变化时，线段CD长的最大值．
【解答】解：设∠ABC=α，AB=BD=a，
在△BCD中，由余弦定理，
得CD2=BD2+BC2﹣2BD BC cos（90°+α）=2+a2+2sinα，
在△ABC中，由余弦定理，得cosα=，
∴sinα=，∴CD2=，
令t=2+a2，则CD2=t+=t+≤+5=9，
当（t﹣5）2=4时等号成立．
∴当∠C变化时，线段CD长的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
二、解答题：本大题共6小题，计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，bn=，n∈N*．
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若S7=7，S15=75，求数列{4}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列的定义及其前n项和公式即可证明；
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn=na1+d，
∴bn==a1+d，
∴bn+1﹣bn=a1+d﹣a1﹣d=d为常数，
∴数列{bn}是等差数列，首项为a1，公差为d．
（2）解：设等差数列{an}的公差为d，
∵S7=7，S15=75，
∴，解得a1=﹣2，d=1．
∴bn=﹣2+（n﹣1）=．
∴4=2n﹣5．
∴数列{4}的前n项和Tn==．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0．
（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别求出关于p，q的x的范围，根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：∵p：x2﹣2x﹣8≤0，∴﹣2≤x≤4，
∵q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0，∴﹣2m≤x≤m；
（1）若q是p的必要不充分条件，
则p q，
∴，（=不同时成立），
解得：m≥4；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
故（=不同时成立），
解得：m≤1．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．
17．某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用；数列的应用．
【专题】计算题；应用题．
【分析】（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；
（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n …
=…
=0.1n2+n+14.4…
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…
=++1≥2+1
=2×1.2+1=3.4
仅当，即n=12时，等号成立．…
故：汽车使用12年报废为宜．…
【点评】本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．
18．在△ABC中，已知tanA=，tanB=．
（1）若△ABC最大边的长为，求最小边的长；
（2）若△ABC的面积为6，求AC边上的中线BD的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）利用tanC=﹣tan（A+B）=﹣1，求出内角C的大小，可得AB=，BC为所求，求出sinA，再利用正弦定理即可求出最小边的边长．
（2）由已知及（1）可得sinB=，sinA=，sinC=，由正弦定理可得S△ABC=absinC=（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，解得R的值，从而可求b=6，a=4，利用余弦定理即可求得BD的值．
【解答】解：（1）∵C=π﹣（A+B），tanA=，tanB=，
∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1，
又∵0＜C＜π，∴C=；
∴△ABC最大边为AB，且AB=，最小边为BC，
由tanA==，sin2A+cos2A=1且A∈（0，），得sinA=．
∵，
∴BC=AB =．
即最小边的边长为．
（2）由tanB==，sin2B+cos2B=1且B∈（0，），得sinB=，
由（1）可得：sinA=，sinC=，
∵由已知及正弦定理可得：S△ABC=absinC=（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，
整理可得：R2×××=6，解得：R=2，b=AC=2RsinB=6，a=2RsinA=4，
∴由余弦定理可得：BD===．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于中档题．
19．已知二次函数f（x）的二次项数为a，且不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2）．
（1）若函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（2）若对 x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，由题意可得1，2为方程ax2+（b+1）x+c=0的解，运用韦达定理，可得b=3a﹣1，c=2a，a＜0，再由零点的求法，即可得到a的值，进而得到函数的解析式；
（2）由题意可得a≥在[0，3]的最大值，由g（x）=的导数，即可判断单调性，求得最大值，进而得到a的范围；
（3）运用判别式，判断大于0恒成立，求得方程的两根，判断大小，运用二次不等式的解法即可得到所求解集．
【解答】解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，
不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2），
即有1，2为方程ax2+（b+1）x+c=0的解，
即1+2=﹣，1×2=，
可得b=3a﹣1，c=2a，a＜0，
即有函数y=f（x）+2a=ax2+（3a﹣1）x+4a，
由函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，
可得判别式为0，即（3a﹣1）2﹣16a2=0，
解得a=﹣1或（舍去），
即有f（x）=﹣x2﹣4x﹣2；
（2）对 x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，
即为ax2+（3a﹣1）x+2a+4≥0，
即有a≥在[0，3]的最大值，
由g（x）=的导数为g′（x）=，
由于﹣x2+8x+14＞0在[0，3]上恒成立，
即有g′（x）＞0，g（x）递增，
可得g（3）取得最大值，且为﹣，
则﹣≤a＜0；
（3）f（x）≥0，即为ax2+（3a﹣1）x+2a≥0，（a＜0），
判别式△=（3a﹣1）2﹣8a2=a2﹣6a+1＞0恒成立，
由方程ax2+（3a﹣1）x+2a=0的两根为x1=，
x2=，a＜0，
可得x1＞x2，
则不等式f（x）≥0的解集为[，]．
【点评】本题考查二次函数和二次不等式及二次方程的关系，考查函数的零点的问题的解法，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性求得最值，考查含参不等式的解法，属于中档题．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），且过点E（，），设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之和为1，求点M的坐标；
（3）求OM ON的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得c，即a2﹣b2=3，将已知点代入椭圆方程，解方程，即可得到所求椭圆方程；
（2）A1（0，1），A2（0，﹣1），P（m，n），即有+n2=1，运用直线的斜率公式，解方程可得m，n，再由三点共线的条件：斜率相等，即可得到M的坐标；
（3）设出M，N的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合P在椭圆上，满足椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由题意可得c=，即a2﹣b2=3，
过点E（，），可得+=1，
解得a=2，b=1，
即有椭圆方程为+y2=1；
（2）A1（0，1），A2（0，﹣1），P（m，n），
即有+n2=1，
=， =，
由题意可得+=1，即为m=2n，
解方程可得m=，n=或m=﹣，n=﹣，
设M（t，0），由P，A1，M三点共线，
可得=，解得t=，
即有t=2±2，
即有M（，2﹣2，0）或（2+2，0）；
（3）由（2）可得A1（0，1），A2（0，﹣1），P（m，n），
即有+n2=1，即为1﹣n2=，
设M（t，0），由P，A1，M三点共线，可得
=，解得t=；
设N（s，0），由P，A2，N三点共线，可得
=，解得s=，
即有OM ON=||=4．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率的公式的运用，同时考查三点共线的条件：斜率相等，以及化简整理的能力，属于中档题．
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