17.2勾股定理的逆定理 课时作业（含详解）2024—2025学年人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理 课时作业2024—2025学年人教版八年级下册数学
一、单选题
1．以下列各组数为边长构造三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A．12 ,5 ,13 B．40 ,9 ,41 C．7 ,24 ,25 D．10 ,20 ,16
2．如图，每个小正方形的边长为1，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三边的边长比为 B．三边边长的平方比为
C．三个内角度数比为 D．三个内角度数比为
5．已知一三角形的三边长m，n，p满足，则这个三角形的面积为（ ）
A．12 B．60 C．48 D．24
6．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=3 B．a=，b=，c=
C．a=3，b=4，c= D．a=1，b=，c=3
7．下列五个命题中是真命题的个数为（　　）
①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
②若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形；
③等腰三角形的对称轴是底边上的高线；
④若三角形的三边长分别为，则此三角形是直角三角形；
⑤若a2＝b2，则a＝b．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在△ABC中，已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是锐角三角形 B．△ABC是直角三角形且
C．△ABC是钝角三角形 D．△ABC是直角三角形且
二、填空题
9．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：
①；
②；
③，，；
④，其中可以判定是直角三角形的有 个．
10．如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ．
11．如图，中，，，为的角平分线， ．
12．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿 的方向航行．
13．在△中，已知，，则△的面积等于
三、解答题
14．如图所示，在中，，，，把折叠，使落在直线上．
（1）判断的形状．
（2）求重叠部分（阴影部分）的面积．
15．如图，在中，，，P是内一点，且，，，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)求的度数．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AB⊥AD ,BC＝12．
（1）求BD的长；
（2）当CD为何值时，△BDC是以CD为斜边的直角三角形？
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
17．如图，中，是上的一点，若，，，，求的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A D B B D
1．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形，据此即可判断．
【详解】A、因为，故能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为，故能构成直角三角形，此选项错误；
C、因为，故能构成直角三角形，此选项错误；
D、因为，故不能构成直角三角形，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两条较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
2．B
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数.
【详解】连接AC，如图所示：
由格点三角形，得
∵，即
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
故选：B.
【点睛】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理.
3．D
【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理可以判断各个选项的条件能否判断三角形是否为直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故选项A不符合题意；
∵
∴设
∴，，
∴，
∴是直角三角形，故选项B不符合题意；
∵
∴
∵，
∴，
∴是直角三角形，故选项C不符合题意；
∵，
∴，故选项D符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】由比的意义及勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，即可完成解答．
【详解】解：A、设三边长分别为，由，此三角形是直角三角形；
B、由题意，设三边的平方分别为，而，此三角形不是直角三角形；
C、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；
D、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据非负数的性质，分别求出m、p、n，根据勾股定理的逆定理，判定该三角形是直角三角形，再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解即可．
【详解】解：
化简可得：
∴
∴m=6，p=8，n=10
∵
∴三角形为直角三角形
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式和平方的非负性，勾股定理的逆定理的运用，直角三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握非负性及直角三角形的判定．
6．B
【详解】试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、32+32≠42，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、（）2+（）2=（）2，故能组成直角三角形，故此选项正确；
C、32+42≠（）2，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、12+（）2≠32，故不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选B．
考点：勾股定理的逆定理．
7．B
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．①根据等边三角形的判定方法即可判定．一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②根据直角三角形的判定方法即可判定；③根据等腰三角形对称轴的概念判断即可；④根据勾股定理判定直角三角形的方法判断即可；如果一个三角形的三边满足，则这个三角形是直角三角形；⑤根据平方和等式的性质即可判断；
【详解】解：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
②若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形，是真命题；
③等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原命题是假命题；
④若三角形的三边长分别为，因为，则此三角形不是直角三角形，原命题是假命题；
⑤若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题．
故选：B．
【点睛】此题考查了等边三角形和直角三角形的判定方法，等腰三角形的对称轴等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形和直角三角形的判定方法，等腰三角形的对称轴．
8．D
【分析】根据三角形的三边边长平方的数量关系，利用勾股定理的逆定理对三角形的形状进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，，，
∵，
∴是直角三角形，且
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理．
9．2
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】∵，，
∴，
∴是直角三角形，
则①正确；
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形，
则②正确；
∵，，，
∴，
∴不是直角三角形．
则③不正确；
设，根据三角形内角和定理，得
，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形．
则④不正确．
正确的有2个．
故答案为：2．
10．135
【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键．
【详解】解：，，
，，
，
，，
，
即，
．
故答案为：135
11．3
【分析】过点D作，根据题意可得，再根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积可得，从而进行求解即可．
【详解】解：过点D作，
∵，，，即，
∴，
∵为的角平分线，，，
∴，
∵，
又∵，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质证明是解题的关键．
12．北偏西40°
【分析】分别求出PR和PQ，再利用勾股定理逆定理求出∠QPR=90°，最后求出∠NPR，即可完成求解．
【详解】解：∵“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，
∴，，
∵两船相距30nmile，
∴，
∵，
∴，
∴∠QPR=90°，
∵“远航”号沿北偏东50°方向，
∴∠NPQ=50°，
∴∠NPR=90°－50°=40°，
∴“海天”号沿北偏西40°方向航行，
故答案为：北偏西40°．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解决本题的关键是求出PQ和PR，通过计算得到三角形的三边满足其中两边的平方之和等于第三边的平方，进而求出∠QPR，同时本题还需要学生理解方位角的概念，能正确的表述方位．
13．54cm2
【分析】首先运用勾股定理的逆定理证明∠A=90°，然后再根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】∵BC2=AB2+AC2
∴在三角形ABC中∠A=90°
∴S=AC·AB=×12×9=54cm2
故填54cm2
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，能够证明出三角形ABC为直角三角形是解题关键.
14．（1）直角三角形；（2）36
【分析】（1）根据AB、AC、BC的长度，利用勾股定理的逆定理计算并判断即可；
（2）利用勾股定理求出CD=6，所以阴影部分面积为×CD×AC，求出即可．
【详解】解：（1）∵，，，
则，
即满足，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设CD=x，
∵在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，
∴BD=B′D=16-x，B′C=AB-AC=20-12=8，∠DCB′=90°，
∴在Rt△DCB′中，
CD2+B′C2=DB′2，
∴x2+82=（16-x）2，
解得：x=6，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为：×6×12=36．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出BD=B′D=16-x，B′C=8是解题关键．
15．(1)与全等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．
（1）根据证明与全等即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可．
【详解】（1）解：与全等，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
16．（1）BD的长度是5；（2）CD为13时△BDC为直角三角形；（3）四边形ABCD的面积是36.
【分析】（1）在直角△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理求得CD的值；
（3）四边形ABCD的面积由两个直角三角形组成，利用三角形的面积公式解答．
【详解】（1）如图，∵AB＝4，AD＝3，AB⊥AD．
∴BD5，即BD的长度是5；
（2）在直角△BCD中，BD＝5，BC＝12．
因为CD为斜边，CD13．
即CD为13时△BDC为直角三角形；
（3）S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDAB ADBD BC5×12＝36．
综上所述，四边形ABCD的面积是36
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状是解答此题的关键．
17．84
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积等知识点．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解题的关键．
先利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再利用勾股定理求得，从而求得，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，即，
∴；
∴，
∴，
∴．