2025年中考数学高频考点突破--角度问题（二次函数综合）（含简单答案）

2025年中考数学高频考点突破--
角度问题（二次函数综合）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明；
(3)若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标．
2．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标．
（2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ．
3．如图，二次函数的图像与轴交于点A，B（点A在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)求证：是直角三角形；
(3)点P是该拋物线上一点，若（点为坐标原点），求点的坐标：
(4)点是该抛物线上一点，若（点为坐标原点），直接写出点M的坐标．
4．如图，抛物线过点，交x轴于A，B两点点A在点B的左侧．
求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；
连接OC，CM，求的值；
若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当时，求点P的坐标．
5．如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．
（1）求直线BD的解析式；
（2）P为抛物线上一点，当点Р到直线BD的距离为时，求点P的坐标；
（3）如图2，直线交抛物线与M，N两点，C为抛物线上一点，当时，请探究点C到MN的距离是否为定值．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；
(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．
7．如图①，二次函数（a≠0）的图象经过点A（，），并且与直线相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，过点A，C作直线，求证AC⊥BC；
（4）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式；若不存在，请说明理由．
8．如图1，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，过点B，C作直线．
(1)求b，c的值和直线的解析式；
(2)点P是直线下方的抛物线上的点，轴与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①如图2，连接，当的面积最大时，试判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，抛物线的对称轴为直线l，直线与x轴交于点E，过点D作直线的垂线，与直线l交于点F，与y轴交于点G，连接．当时，求t的值．
9．如图，抛物线与x轴交于点和B两点，点在抛物线上．
（1）直接写出B点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标；
（3）如图2，直线与抛物线交于点E、F，连接、分别交y轴于点M、N，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标．
10．如图，已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线（不包括坐标轴）上一个动点，连接和，当时，求出点P的坐标；
(3)如图2在（2）的条件下，连接CP与x轴交于点M，求证：．
11．已知抛物线：与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点M，N是在抛物线的对称轴上两个动点，且，点M在点N的上方，则四边形的周长的最小值为______．
(3)如图，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请说明理由；
(4)将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线，若点E为抛物线上的动点，已知点，试证明：以线段为直径的圆截直线所得弦的长为定值，并求出它的值．
12．如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且，若点D是直线（不与B，C重合）上一动点，过点D作x轴的垂线交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，，当点D的横坐标为时，求证：．
(3)如图（2），若点F是y轴上的动点，是否存在点F，使以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
13．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标；
(3)如图2，点为第四象限抛物线上一点，经过、、三点作，的弦轴，证明：点在直线上．
14．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx﹣2的图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB＝∠BCO，求点P的坐标；
(3)若点Q在第四象限内，且tan∠AQB，M（﹣2，1），线段MQ是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）
(2)∠ACB
(3)点P坐标为（，）
2．（1），（-1，-4）；（2）（-2，-3）或（-4，5）
3．(1)，，
(3)点P坐标为或
(4)或
4．抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；；P点坐标为或
5．（1）；（2）或；（3）C到MN的距离为定值
6．(1)y＝x2﹣2x；点M的坐标为（3，﹣3）
(2)点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）
7．（1）；（2）4；（4）存在，和.
8．(1)，直线的解析式为
(2)①四边形是平行四边形；②或
9．（1），；（2）D坐标为；（3）定点坐标为
10．(1)
(2)
11．(1)
(2)
(3)或
(4)
12．(1)
(3)或或
13．(1)．
(2)，
14．(1)
(2)点M坐标为：（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）
(3)存在，点Q的横坐标为﹣2或
15．(1)yx2x﹣2
(2)P（，）
(3)