2025年中考数学高频考点突破--特殊三角形问题（二次函数综合）（含简单答案）

2025年中考数学高频考点突破--
特殊三角形问题（二次函数综合）
1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求A点和点B的坐标；
(2)判断的形状，证明你的结论；
2．已知，抛物线（a≠0）经过点A（4，4）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标： ．
(3)如图2，直线l经过点C（0，﹣1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EF⊥l，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）．
3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)证明为直角三角形；
(3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图， 抛物线与x轴交于点和．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E， 点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点， C是第一象限抛物线上一点， 若， 点C的横坐标是5，求证： 四边形 是平行四边形；
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当是等腰三角形时，求点 P的坐标．
5．如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点，连接、，与轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)若点的坐标为，请求出此时的面积；
(3)过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，如图2．
①若，求证：；
②能否为等腰三角形？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）用含m的代数式分别表示a、b、c；
（2）如图，当m取何值时，△ADC为直角三角形？
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，-1），点B的坐标为（3，-3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．
（1）求抛物线及线段OB所在直线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①求△BOD 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
②当△OPC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF．
（1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ；
（2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明；
（3）当a为何值时，△ADF是直角三角形
9．如图，二次函数图象的顶点坐标为，且在轴上截得的线段的长为2．

(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)求二次函数的解析式；
(3)在的抛物线上是否存在点，使是等腰三角形；若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．

(1)求点和点的坐标；
(2)求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
11．已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.
(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；
(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.
12．如图，抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并予证明．
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，顶点为（）的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，直线交二次函数图象对称轴于点，点、关于点对称，连接、．
（1）求该二次函数的关系式（用含的式子表示）．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
②求证：．
14．已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射线上一动点，连接，交于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
15．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE
（1）用含m的代数式表示a；
（2）)求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)；
(2)是直角三角形
2．(1)，
(2)B（﹣4，4）或（﹣8，16）；
3．(1)
(3)存在，
4．(1)抛物线的解析式为
(3)点P坐标为或或或
5．(1)
(2)15
(3)②能，，，，，，．
6．（1）a=m，b=2m，c=-3m；（2）m=1或m=．
7．（1）抛物线的解析式为．直线OB的解析式为y=-x．（2）
8．（1）点A（﹣1，0），点B（3，0）；（2）四边形ACDE是平行四边形（3）当或时，△ADF为直角三角形．
9．(2)
(3)在的抛物线上存在点，使是等腰三角形，点或或
10．(1)
(2)当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为
(3)存在，或或
11．(1) y=a(x－2)2, c=4a;(2) ①顶点A(1,0)，y= x2－2x+1
12．(1)y=﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；(2)△DCB为直角三角形；(3) 存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．
13．（1）；（2）①等腰直角三角形
14．(1)，，
(3)存在，或
15．（1）；（3）以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.