2025年中考数学高频考点突破--线段周长问题（二次函数综合）（含简单答案）

2025年中考数学高频考点突破--
线段周长问题（二次函数综合）
1．如图，已知抛物线过点，，过定点的直线：与抛物线交于、两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若的面积为4，求的值；
（3）当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系（、、），并证明你的判断．
2．已知抛物线的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，顶点为．
（）试确定的值，并直接写出点的坐标．
（）试在轴上求一点，使得的周长取最小值．
（）若将抛物线向右平移个单位长度，所得新抛物线的顶点记作，点的对应点记作，与原抛物线的交点记作，则是否存在一个的值，使的面积与的面积比为，且点、、在同一条直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y = x2+bx+c过点A (-1，2)，且关于y轴对称，点C与点B(a，0)(a＞1)关于原点对称，直线AC交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接OA，BD，当OA//BD时，求a的值；
（3）若直线AC交抛物线于E，F两点(点E在点F的左侧)，且EA=DF，求直线AC的解析式．

4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），并只经过点中的一点．
(1)判断并直接写出抛物线经过C，D，E中的点_______，并求出a的值；
(2)点N是x轴上一点，点M是抛物线的顶点，连接，是否存在一点N，使得？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点是原抛物线上一点，点P在新抛物线上，过P作x轴的垂线交原抛物线于点G，交线段于点Q，当点Q为线段上靠近点F的三等分点时，存在t的值，使得的值为定值，求出此时t的值和该定值．
5．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，4)，在x轴上有一动点D9(m，0)（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．
6．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC 上的动点（点P不与B，C重合），连接并延长AP交抛物线于另一点Q，设点Q的横坐标为x．
（1）①写出点A，B，C的坐标：A（ ），B（ ），C（ ）；
②求证：△ABC是直角三角形；
（2）记△BCQ的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于．
(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；
(2)当时，求点的坐标；
(3)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值．
8．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知二次函数y=﹣x2+4x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点p是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求p的坐标
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
10．已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A(1，0)、B(3，0)，交 y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E(点E不与点A、B重合)．
(1)直接写出二次函数的解析式；
(2)若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由；
(3)将此抛物线沿着y=2翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线y=-x-1于点F，求的最大值．

11．综合与探究：
如图，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线，平移后的抛物线与轴分别交于,两点，与轴交于点.抛物线的对称轴与抛物线交于点.
（1）请你直接写出抛物线的解析式；（写出顶点式即可）
（2）求出,,三点的坐标；
（3）在轴上存在一点，使的值最小，求点的坐标.
12．已知二次函数y＝﹣x2+x+m．
（1）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB和二次函数图象的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P（不与A，B两点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点D，是否存在一点P使线段PD的长有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
14．如图1，二次函数的图象F交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，直线l：交图象F于M，N两点（点M在点N左侧）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)已知点，当，且时，求k的值；
(3)如图2，设图象F的顶点为P，线段的中点为S，连接，求证：不论k取何值，的值不变．
15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点．
(1)求证；是等腰直角三角形．
(2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标．
(3)如图2，若点D在线段的下方抛物线上一点，画于点E．
①求的最大值．
②在线段上取点F，连，，若，且点C关于直线的对称点恰好落在抛物线上，求点D的坐标（直接写出答案）．
参考答案：
1．（1）；（2）；（3）BF=BC
2．（）； （） （）
3．（1）；（2）；（3）y=2x+4．
4．(1)E，
(2)存在，点N的坐标为或
(3)存在，的定值为
5．（1）y＝﹣；y＝﹣x+4；（2）m＝2，四边形ODEB为矩形；（3）
6．（1）① 1，0；4，0；0，2．（2）S＝ x2＋4x；（3）存在，的最大值为，点Q的坐标为（2，3）
7．(1)二次函数的表达式为，顶点D的坐标为；
(2)当时，点P的坐标为
(3)这个定值为9
8．(1)
(2)，
(3)存在；点P的坐标为或或或
9．（1）m＞﹣4；（2）P（2，8）；（3）x＜0或x＞6．
10．(1) y=x2-4x+3；(2)能，点E (2+，2)、(2-，2)、(2+，4)、(2-，4)； (3)
11．（1）；（2），，；（3）.
12．（1）y＝﹣2x+6，y＝﹣x2+x+6；（2）存在P（，3）
13．（1）y=﹣x2+x；（3）P（﹣，0）．
14．(1)
(2)
(3)不论k取何值，的值不变，都是
15．(2)
(3)