6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（含解析） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 143.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-15 13:41:37 | ||
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文档简介
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教材课后习题
1.一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？
2.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
3.如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？
4.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
5.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同.从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法？
6.（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有多少个？
（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合内取值，y轴上的截距在集合内取值的不同直线共有多少条？
7.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字.现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
8.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是还是？
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？
9.（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）
10.口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？
11.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？
12.2160有多少个不同的正因数？
定点变式训练
13.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A.4种 B.6种 C.10种 D.16种
14.2022年北京冬奥会的顺利召开引起了大家对冰雪运动的关注.若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有( )
A.12种 B.16种 C.64种 D.81种
15.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢.现让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有( )
A.50种 B.60种 C.80种 D.90种
16.春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图的圆形花坛，花坛分为5个区域.现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有( )
A.120种 B.240种 C.420种 D.720种
17.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付平台A、支付平台B、银联卡.顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数为__________.
18.现有3名高一学生和5名高二学生，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是__________；若要从高一年级的3名学生和高二年级的5名学生中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是__________.
19.设有3名医生、5名护士、2名麻醉师.
（1）从中选派1人外出参加学习，有多少种不同的选法？
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
答案以及解析
1.答案：11种
解析：一件事情是“买1台某种型号的电视机”，
因此选法有种.
2.答案：14条
解析：一件事情是“从甲地经乙地或经丙地到丁地”，所以是“先分类，后分步”.
不同的路线共有条.
3.答案：8条
解析：一件事情是“接通电路”.根据电路的有关知识，容易得到不同的接通路径有条.
4.答案：可构成的分数的个数为16，可构成的真分数的个数为10
解析：对于第一问，一件事情是“构成一个分数”.
由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，
所以以1，5，9，13中任意一个数为分子，以4，8，12，16中的任意一个数为分母可以构成不重复的分数，
因此可以分两步来构成分数：
第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种进法.
故可构成的分数的个数为.
对于第二问，一件事情是“构成一个真分数”.分四类：
分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个数，有4个；
分子为5时，分母可以从8，12，16中任选一个数，有3个；
分子为9时，分母可以从12，16中任选一个数，有2个；
分子为13时，分母只能选16，有1个.
所以可构成的真分数的个数为.
5.答案：30
解析：一件事情是“从两个袋子中分别取1个球”，
由分步乘法计数原理，不同的取法数为.
6.答案：（1）36个
（2）16条
解析：（1）一件事情是“用坐标确定点”.由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：
第一步，从A中选横坐标，有6种选择；第二步，从A中选取纵坐标，也有6种选择.
所以共有个不同的点.
（2）一件事情是“确定一条直线”.由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，
因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法.
所以共有不同的直线条.
7.答案：6000
解析：一件事情是“组成一个四位数字号码”.由于数字可以重复，最后一个数字只能在0~5这6个数字中选择，
所以可组成的四位数字号码的个数为.
8.答案：（1）
（2）
解析：（1）一件事情是“4名同学分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”，应该是人选运动队，
所以不同报法种数是.
（2）一件事情是“3个班分别从5个景点中选择一处游览”，应该是班选景点，
故不同的选法种数是.
9.答案：（1）120种
（2）125种
解析：（1）一件事情是“从5件不同礼物中选4件送给4位同学，每人1件”，应该分4步，每步选一件礼物送给一个同学，
由分步乘法计数原理共有种.
（2）一件事情是“把3本不同的书放进抽屉，每本书都可放进5个不同的抽屉中的任意一个”，是书选抽屉，
所以不同的放法有种.
10.答案：（1）80种
（2）28种
（3）108种
（4）73种
解析：（1）一件事情是“取出一个白球一个红球”.可分2步解决，第1步取一个白球，8种取法；第2步取一个红球，10种取法，
由分步乘法计数原理，共有种不同取法.
（2）一件事情是“取出两个白球”.可分为2步解决，先从8个白球中取一个，8种取法；
再从余下7个白球中取一个，7种取法，
但先取1号球后取2号球与先取2号球后取1号球，结果是相同的，
故共有种不同的取法.
（3）一件事情是“取出一个白球一个红球或者取出两个白球”，可分两类解决，
取出一个白球一个红球有80种不同取法；
取出两个白球有28种不同取法，
由分类加法计数原理，共有种不同取法.
（4）一件事情是“取出两白球或取出两红球”.可分两类解决，取出两白球有28种不同取法：取出两红球有种不同取法，
由分类加法计数原理知，共有种不同取法.
11.答案：326592种
解析：利用分步乘法计数原理，分七步来求解.
第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法；
第二步，安排第二天的值班人员，有6种方法；
第三步，安排第三天的值班人员，有6种方法；
同理，第四、五、六、七步均有6种方法.
综上所述，共有种可能的安排方法.
12.答案：40个
解析：，
若没2160的正因数，
则，，，
的正因数共有个.
13.答案：B
解析：分2类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种方法（如图）.同理，甲先踢给丙时，满足条件的也有3种方法.由分类加法计数原理可知，共有（种）传递方式.故选B.
14.答案：C
解析：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，则根据分步乘法计数原理，得不同的选法共有（种）.故选C.
15.答案：C
解析：按甲的不同选择分成两种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选择有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法.
综上可知，一共有（种）不同的选法.故选C.
16.答案：C
解析：如图，先在区域A中种植，有5种不同的选择，再在区域B中种植，有4种不同的选择，再在区域C中种植，有3种不同的选择.在区域D中种植，若区域D与区域B种植同一种花卉，则区域E有3种不同的选择；若区域D与区域B种植不同的花卉，则区域D有2种不同的选择，区域E有2种不同的选择.所以不同的布置方案有（种）.故选C.
17.答案：20
解析：当乙用现金结账时，甲和乙都用现金结账，所以丙有3种结账方式，丁有4种结账方式，故共有（种）结账方式；当乙用银联卡结账时，甲用现金结账，所以丙有2种结账方式，丁有4种结账方式，故共有（种）结账方式.综上可知，共有（种）结账方式.
18.答案：8；15
解析：根据题意，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，若从高一学生中选，则有3种选法；若从高二学生中选，则有5种选法.由分类加法计数原理知，共有（种）不同的选法.若要从高一年级的3名学生和高二年级的5名学生中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，从高一学生中选出一人，有3种选法，从高二学生中选出一人，有5种选法，则有（种）不同的选法.
19.答案：（1）10种
（2）30种
解析：（1）分3类；
第1类：从医生中选，有3种选法.
第2类：从护士中选，有5种选法.
第3类：从麻醉师中选，有2种选法.
根据分类加法计数原理，可知共有（种）不同的选法.
（2）分3步：
第1步：选1名医生，有3种选法.
第2步：选1名护士，有5种选法.
第3步：选1名麻醉师，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，可知共有（种）不同的选法.
教材课后习题
1.一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？
2.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
3.如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？
4.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
5.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同.从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法？
6.（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有多少个？
（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合内取值，y轴上的截距在集合内取值的不同直线共有多少条？
7.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字.现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
8.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是还是？
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？
9.（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）
10.口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？
11.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？
12.2160有多少个不同的正因数？
定点变式训练
13.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A.4种 B.6种 C.10种 D.16种
14.2022年北京冬奥会的顺利召开引起了大家对冰雪运动的关注.若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有( )
A.12种 B.16种 C.64种 D.81种
15.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢.现让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有( )
A.50种 B.60种 C.80种 D.90种
16.春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图的圆形花坛，花坛分为5个区域.现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有( )
A.120种 B.240种 C.420种 D.720种
17.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付平台A、支付平台B、银联卡.顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数为__________.
18.现有3名高一学生和5名高二学生，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是__________；若要从高一年级的3名学生和高二年级的5名学生中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是__________.
19.设有3名医生、5名护士、2名麻醉师.
（1）从中选派1人外出参加学习，有多少种不同的选法？
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
答案以及解析
1.答案：11种
解析：一件事情是“买1台某种型号的电视机”，
因此选法有种.
2.答案：14条
解析：一件事情是“从甲地经乙地或经丙地到丁地”，所以是“先分类，后分步”.
不同的路线共有条.
3.答案：8条
解析：一件事情是“接通电路”.根据电路的有关知识，容易得到不同的接通路径有条.
4.答案：可构成的分数的个数为16，可构成的真分数的个数为10
解析：对于第一问，一件事情是“构成一个分数”.
由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，
所以以1，5，9，13中任意一个数为分子，以4，8，12，16中的任意一个数为分母可以构成不重复的分数，
因此可以分两步来构成分数：
第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种进法.
故可构成的分数的个数为.
对于第二问，一件事情是“构成一个真分数”.分四类：
分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个数，有4个；
分子为5时，分母可以从8，12，16中任选一个数，有3个；
分子为9时，分母可以从12，16中任选一个数，有2个；
分子为13时，分母只能选16，有1个.
所以可构成的真分数的个数为.
5.答案：30
解析：一件事情是“从两个袋子中分别取1个球”，
由分步乘法计数原理，不同的取法数为.
6.答案：（1）36个
（2）16条
解析：（1）一件事情是“用坐标确定点”.由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：
第一步，从A中选横坐标，有6种选择；第二步，从A中选取纵坐标，也有6种选择.
所以共有个不同的点.
（2）一件事情是“确定一条直线”.由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，
因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法.
所以共有不同的直线条.
7.答案：6000
解析：一件事情是“组成一个四位数字号码”.由于数字可以重复，最后一个数字只能在0~5这6个数字中选择，
所以可组成的四位数字号码的个数为.
8.答案：（1）
（2）
解析：（1）一件事情是“4名同学分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”，应该是人选运动队，
所以不同报法种数是.
（2）一件事情是“3个班分别从5个景点中选择一处游览”，应该是班选景点，
故不同的选法种数是.
9.答案：（1）120种
（2）125种
解析：（1）一件事情是“从5件不同礼物中选4件送给4位同学，每人1件”，应该分4步，每步选一件礼物送给一个同学，
由分步乘法计数原理共有种.
（2）一件事情是“把3本不同的书放进抽屉，每本书都可放进5个不同的抽屉中的任意一个”，是书选抽屉，
所以不同的放法有种.
10.答案：（1）80种
（2）28种
（3）108种
（4）73种
解析：（1）一件事情是“取出一个白球一个红球”.可分2步解决，第1步取一个白球，8种取法；第2步取一个红球，10种取法，
由分步乘法计数原理，共有种不同取法.
（2）一件事情是“取出两个白球”.可分为2步解决，先从8个白球中取一个，8种取法；
再从余下7个白球中取一个，7种取法，
但先取1号球后取2号球与先取2号球后取1号球，结果是相同的，
故共有种不同的取法.
（3）一件事情是“取出一个白球一个红球或者取出两个白球”，可分两类解决，
取出一个白球一个红球有80种不同取法；
取出两个白球有28种不同取法，
由分类加法计数原理，共有种不同取法.
（4）一件事情是“取出两白球或取出两红球”.可分两类解决，取出两白球有28种不同取法：取出两红球有种不同取法，
由分类加法计数原理知，共有种不同取法.
11.答案：326592种
解析：利用分步乘法计数原理，分七步来求解.
第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法；
第二步，安排第二天的值班人员，有6种方法；
第三步，安排第三天的值班人员，有6种方法；
同理，第四、五、六、七步均有6种方法.
综上所述，共有种可能的安排方法.
12.答案：40个
解析：，
若没2160的正因数，
则，，，
的正因数共有个.
13.答案：B
解析：分2类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种方法（如图）.同理，甲先踢给丙时，满足条件的也有3种方法.由分类加法计数原理可知，共有（种）传递方式.故选B.
14.答案：C
解析：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，则根据分步乘法计数原理，得不同的选法共有（种）.故选C.
15.答案：C
解析：按甲的不同选择分成两种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选择有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法.
综上可知，一共有（种）不同的选法.故选C.
16.答案：C
解析：如图，先在区域A中种植，有5种不同的选择，再在区域B中种植，有4种不同的选择，再在区域C中种植，有3种不同的选择.在区域D中种植，若区域D与区域B种植同一种花卉，则区域E有3种不同的选择；若区域D与区域B种植不同的花卉，则区域D有2种不同的选择，区域E有2种不同的选择.所以不同的布置方案有（种）.故选C.
17.答案：20
解析：当乙用现金结账时，甲和乙都用现金结账，所以丙有3种结账方式，丁有4种结账方式，故共有（种）结账方式；当乙用银联卡结账时，甲用现金结账，所以丙有2种结账方式，丁有4种结账方式，故共有（种）结账方式.综上可知，共有（种）结账方式.
18.答案：8；15
解析：根据题意，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，若从高一学生中选，则有3种选法；若从高二学生中选，则有5种选法.由分类加法计数原理知，共有（种）不同的选法.若要从高一年级的3名学生和高二年级的5名学生中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，从高一学生中选出一人，有3种选法，从高二学生中选出一人，有5种选法，则有（种）不同的选法.
19.答案：（1）10种
（2）30种
解析：（1）分3类；
第1类：从医生中选，有3种选法.
第2类：从护士中选，有5种选法.
第3类：从麻醉师中选，有2种选法.
根据分类加法计数原理，可知共有（种）不同的选法.
（2）分3步：
第1步：选1名医生，有3种选法.
第2步：选1名护士，有5种选法.
第3步：选1名麻醉师，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，可知共有（种）不同的选法.