6.3二项式定理 同步练习（含答案） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三

6.3 二项式定理
教材课后习题
1.在的展开式中，含的项的系数是( ).
A.74 B.121 C.-74 D.-121
2.的展开式中的系数为15，则( ).
A.7 B.6 C.5 D.4
3.的展开式中的系数是_________.
4.用二项式定理展开：
（1）；
（2）.
5.化简：
（1）；
（2）.
6.（1）求的展开式的前4项；
（2）求的展开式的第8项；
（3）求的展开式的中间一项；
（4）求的展开式的中间两项.
7.求下列各式的二项展开式中指定各项的系数：
（1）的含的项；
（2）的常数项.
8.证明：
（1）的展开式中常数项是；
（2）的展开式的中间一项是.
9.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
10.用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
11.求证：.
定点变式训练
12.的展开式中的系数为( )
A.40 B.80 C. D.
13.若的二项展开式中的系数是，则实数a的值是( )
A. B. C.1 D.2
14.的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为( )
A.320 B. C.160 D.
15.（多选）若，则( )
A.展开式中所有的二项式系数之和为
B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C.
D.
16.在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）
17.若，则__________.
18.的展开式中的系数为________（用数字作答）.
19.在二项式的展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为.
（1）求n的值及展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项是第几项.
答案以及解析
1.答案：D
解析：含的项为.故选D.
2.答案：B
解析：的展开式的通项为，
的系数为15，故选B.
3.答案：0
解析：的展开式中含的项为，
故的系数为0.
4.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）；
（2）.
5.答案：（1）
（2）
解析：
6.答案：（1）前4项分别是1，，，
（2）
（3）
（4），
解析：（4）展开式的中间两项分别为，，
其中，
.
7.答案：（1）
（2）
解析：（1）含的项是第6项，它的系数是；
（2）常数项是第6项，.
8.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）.
由得，即的展开式中的常数项是
.
（2）的展开式共有项，
所以中间一项是.
9.答案：120
解析：展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是与，
由，，得，即，
所以这两项的二项式系数是与，即120.
10.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）
，
能被整除.
（2）
，
能被1000整除.
11.答案：证明见解析
解析：证明：由，
得.
12.答案：A
解析：因为，所以展开式中的系数为.故选A.
13.答案：D
解析：的二项展开式的通项公式.令，得.由的系数是，得，解得.故选D.
14.答案：D
解析：的展开式的通项，则.因为，所以..令，可得，则，得.因为，所以在中，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选D.
15.答案：ABC
解析：由已知，得展开式中所有项的二项式系数之和为，故A正确.展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确.在二项式的展开式中，令，可得，故C正确.令，可得，所以，故D错误.选ABC.
16.答案：
解析：二项式的展开式的通项，令，则，所以，所以二项式的展开式中的常数项为.
17.答案：364
解析：在中，令，得；令，得；令，得.所以，所以.
18.答案：-28
解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.
19.答案：（1）；展开式中的常数项为
（2）第5项
解析：（1）二项式的展开式的通项.
因为第3项和第4项的二项式系数比为，
所以，化简，得，解得.
所以.
令，得，
所以展开式中的常数项为.
（2）设展开式中系数最大的项是第项，
则
即解得.
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项是第5项.