(共26张PPT)
垂直于弦
的直径
九年级上
数学
人教版
24.1.2
授课人：一起课件
学习目标
重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。
难点：1.垂径定理的证明；2.垂径定理的题设与结论的区分。
情境导入
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？
问题：
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形;圆有无数条对称轴
探究新知
a
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称轴
用折叠的方法
探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
探究新知
a
可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
圆的对称轴
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上。
证明：如图，设是的任意一条直径，为上点，以外的任意一点.过点作′，交于点′，垂足为，
连接，′。
在′中，
′
′是等腰三角形
又 ′
探究新知
圆的对称轴
探究新知
圆的对称轴
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
′
即是′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线的对称点′，因此关于直线对称.即
探究新知
从前面的证明我们知道，如果的直径垂直于弦′，垂足为，那么点和点′是对称点.把圆沿着直径折叠时，点与点′重合，与′重合，分别与弧′，弧′重合.
因此，′，弧′，弧′即直径平分弦′，并且平分弧 ′，弧′.
垂径定理及其推论
探究新知
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
E
是直径， ，
,
,
.
(
(
(
(
垂径定理
定理格式
垂径定理及其推论
探究新知
a
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
垂径定理及其推论
探究新知
a
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
不是，因为没有过圆心
垂径定理及其推论
探究新知
a
根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
垂径定理及其推论
探究新知
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为.经过圆心作弦的垂线，为垂足， 与相交于点，连接.根据垂径定理，是的中点，是的中点， 就是拱高。
垂径定理及其推论
探究新知
37，7.23.
解得27.3().
即主桥拱半径约为27.3.
18.5(7.23)
18.5，
,
7.23
垂径定理及其推论
课堂练习
·
1.如图，于，若的半径为10 ,
6,则
解析：连接，
，
16
课堂练习
2.已知：中弦,求证：。
证明：作直径.
， .
则弧弧，弧弧
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
弧弧弧弧
弧弧
.
M
课堂练习
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
解决有关弦的问题应该怎样做更简单呢？
课堂练习
3. 如图,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7，则弓形的高为________________.
图
图
2或12
课堂练习
在圆中有关弦长,半径, 弦心距（圆心到弦的距离），弓形高的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。
垂径定理辅助线的添加方法
课堂练习
弦，弦心距，弓形高，半径之间有以下关系
弓形中重要数量关系
课堂小结
·
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
是直径， ，
,
,
.
(
(
(
(
垂径定理
定理格式
一条直线满足:
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出
其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造利用勾股定理计算或建立方程
课堂小结
垂径定理及其推论
课后练习
1.已知中，弦8，圆心到的距离为3，则此圆的半径为 .
2. 的直径20, ∠30°则弦 .
课后练习
3.如图，在中， 、为互相垂直且相等的两条弦，于， 于，求证四边形是正方形。
·
课后练习
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧,点是弧的圆心),其中600, 为弧上的一点,且 ，垂足为, 90.求这段弯路的半径。
●
┗
课后练习
5. （选做）如图， 的直径为10，弦8,为上的一个动点，那么长的取值范围 。24.1.2 垂直于弦的直径
一、内容及其解析
（一）内容
垂径定理的探索、证明和简单应用.
（二）内容解析
1.内容本质
垂径定理是圆的重要性质，是圆中证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为和圆有关的其他计算、证明、作图提供了重要的方法和依据。此外，垂径定理也为研究弦、弧、圆心角关系定理提供了研究方法，圆有许多重要性质，其中最主要的性质是圆的对称性(轴对称性和旋转不变性)，它是探索其他性质的基础前提，垂径定理正是圆的轴对称性的具体体现。
垂径定理的条件是：1过圆心，2垂直于弦，结论是③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，事实上，以其中任意两个为条件都可以得出其余结论.
2.蕴含的思想和方法
在研究垂径定理时，采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，培养学生几何直观的数学素养.
3.知识的上下位关系
由于垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，所以在研究垂径定理时，采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，让学生体会图形变化的方法在发现问题、解决问题的作用，也为从圆的旋转对称性发现弦、弧、圆心角的关系起到一定的铺垫作用.
.4.育人价值
由于垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，所以在研究垂径定理时，采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，让学生体会图形变化的方法在发现问题、解决问题的作用，
（三）教学重点
垂径定理的探索及初步应用.
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
1.充分认识圆的轴对称性；
2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理；
3.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图.
4..让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；
5.让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力.
6.通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神.
（二）教学难点
1.垂径定理的证明；
2.垂径定理的题设与结论的区分.
三、教学过程
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
（一）情境导入 问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？【设计意图】通过情境导入，以提问的方式开启本节课的学习，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵ OA=OA′
∴ △OAA′是等腰三角形
又 AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即
从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合，分别与，重合.
这样，我们就得到垂径定理：
进一步，我们还可以得到推论：
∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE=BE
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m
所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2
即 R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3(m)
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养
（三）应用新知，解决问题1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.解析：连接OA，∵ OE⊥AB，cm2.已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则弧AM＝弧BM，弧CM＝弧DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）弧AM－弧CM＝弧BM－弧DM∴弧AC＝弧BD 3. 如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）巩固练习，深化提高1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.5.（选做）如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
24.1.2 垂直于弦的直径
知识点区 PPT展示区 例题讲解区
