(共28张PPT)
弧、弦、
圆心角
九年级上
数学
人教版
24.1.3
授课人：一起课件
学习目标
重点：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用。
难点：探索弧、弦、圆心角的关系。
复习导入
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
上节课，我们研究发现圆是轴对称图形，并且利用圆的轴对称性探索出了垂径定理，这节课继续探索圆的性质。
垂径定理
探究新知
问题1 圆是中心对称图形吗
将圆旋转任意角度后会出现什么情况
旋转180°
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
1
1
1
旋转30°
旋转183°
旋转235°
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
圆是中心对称图形，对称中心是圆心，而且圆绕圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
问题2 观察图1中1，2，它们有什么共同特点
共同特征：顶点是圆心
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
像1， 2这样，顶点在圆心的角叫做圆心角
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
问题3 如图，将圆心角绕圆心旋转到的位置，你能发现哪些等量关系 为什么
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
追问1 目前，我们已知的证明弧相等的方法有哪些
1.证明弧重合： 这是一种直观且直接的方法， 通过证明两段弧能够完全重合来证明它们相等。
2.利用圆心角定理： 另一种方法是利用圆心角定理来证明弧的相等性。
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
′′
射线与′重合
又 ′， ′
点与′重合，点与′重合
追问2 为什么将绕圆心旋转到的位置时，会重合
(
(
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
因此，与重合， 与重合
即，
(
(
(
追问2 为什么将绕圆心旋转到的位置时，会重合
(
(
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
追问3 由问题2，我们可以得出怎样的结论 请用文字语言进行概括
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
探索弧、弦、圆心角关系
弧、弦与圆心角的关系定理
探究新知
追问4 在等圆中是否也能得出类似的结论呢
探索弧、弦、圆心角关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
探究新知
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不能，如右图
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
问题4 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系 所对的弦呢 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系 所对的弧呢
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆
如果圆心角相等
如果弧相等
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
在同圆或等圆
如果弦相等
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等，即：
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
弧、弦与圆心角
关系定理的推论
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
圆心角相等
弧相等
弦相等
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
·
从圆角度看，要求证相等的三个角属于什么角
如图，在中， , 60°,
求证： .
(
(
探索弧、弦、圆心角关系
探究新知
·
． 是等腰三角形.
又60°，
是等边三角形 , .
.
如图，在中， , 60°,
求证： .
(
(
证明：
，
探索弧、弦、圆心角关系
课堂练习
1.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆外角
圆内角
圆内角
圆心角
课堂练习
2．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
课堂练习
3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .
60 °
课堂小结
a
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
a
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等
顶点在圆心的角叫做圆心角
课后练习
·
1.如图， 、 是的两条弦．
（1）如果，那么___________，____________．
（2）如果 ，那么____________，_____________．
（3）如果，那么_____________，_________．
(
(
课后练习
2.如图，在中，2，那么2成立吗？ 2也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
(
(【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载24.1.3弧、弦、圆心角
一、内容及其解析
（一）内容
弧、弦、圆心角之间的关系
（二）内容解析
1.内容本质
弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础
2.蕴含的思想和方法
弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现.在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等.弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用
.3.知识的上下位关系
弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础
.4.育人价值
研究采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，让学生体会图形变化的方法在发现问题、解决问题的作用，
（三）教学重点
弧、弦、圆心角的关系的探索与应用.
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
(1)了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用.
(2)在探索弧、弦、圆心角关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角关系的过程中体会转化思想.
（二）教学难点
探索弧、弦、圆心角的关系.
三、教学过程
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
（一）复习导入上节课，我们研究发现圆是轴对称图形，并且利用圆的轴对称性探索出了垂径定理，这节课继续探索圆的性质.【设计意图】通过复习导入，以提问的方式开启本节课的学习，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂.
（∵ ∠AOB=∠A′OB′
∴ 射线OB与OB′重合
又 OA=OA′，OB=OB′
∴ 点A与A′重合，点B与B′重合
因此，与重合，AB与A′B′重合
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
【设计意图】：通过探索，使学生体会从旋转的角度可以发现问题，也可以进行结论的论证，
问题4 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系 所对的弦呢 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系 所对的弧呢
【师生活动】：教师启发学生对照图2，类比问题2的探索方法，判断上述判断的正确性.
如果在同圆或等圆这个前提下，将定理中的题设和结论中的任何一项交换一下，结论还正确吗？
1.在⊙O中，如果AB=，那么_____________________；
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
总结上面的三个结论，我们可以得到：
证明：∵ =
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形
又 ∠ACB=60°
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC师生活动：教师组织学生思考、讨论、交流，师生共同
书写证明过程，如果学生有困难，教师可进行启发：“从圆角度看，要求证相等的三个角属于什么角 通过本堂课的学
习，圆心角相等可通过什么条件得到 ”
设计意图：通过此练习帮助学生进一步明确圆心角、弧、弦之间的关系的条件与结论，并使学生学会如何用符合语言表达圆心角、弧、弦之间的关系。【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养
（三）应用新知，解决问题1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 . 【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
(1)如果AB=CD，那么____________，_______.
(2)如果=，那么____________，_______.
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
解：∵ ==
∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE
又 ∠COD=35°
∴ ∠BOE=3∠COE=3×35°=105°
∴ ∠AOE=180°-∠BOE =180°-105°=75°【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
24.1.3弧、弦、圆心角
知识点区 PPT展示区 例题讲解区
