(共35张PPT)
圆
九年级上
数学
人教版
24.1.4
授课人：一起课件
重点：探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的
性质及圆内接四边形对角互补的结论。
难点：发现并证明圆周角定理。
学习目标
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, .
复习导入
问题2 如图，的顶点和边有哪些特点
的顶点在上，角的两边分别交于、两点。
复习导入
足球场有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好.”在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角()有关.
当球员在，，处射门时他所处的位置对球门分别形成三个张角， ，这三个角的大小有什么关系？
圆周角的定义：
新知探究
圆周角的定义：
.
圆心角
新知探究
圆周角的定义：
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的)，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
新知探究
圆周角的定义：
下列各图形中的角是圆周角吗？
√
×
×
一边没有和圆相交
顶点不在圆上
新知探究
圆周角定理及其推论
分别测量图中所对的圆周角和圆心角的度数，它们之间有什么关系？
新知探究
圆周角定理及其推论
在上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？
拉动、、三点，观察圆周角()和圆心角()是如何变化的，及它们之间有何关系？
新知探究
圆周角定理及其推论
新知探究
圆周角定理及其推论
圆心在的一边上
圆心在的内部
圆心在的外部
新知探究
圆周角定理及其推论
圆心在的一边上
新知探究
新知探究
圆周角定理及其推论
圆心在的内部
()
作的延长线角交于点
圆周角定理及其推论
圆心在的外部
作的延长线角交于点
新知探究
圆周角定理及其推论
新知探究
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半
圆周角定理及其推论
新知探究
问题1 如图，，都是的半径，点 ,是上任意两点，连接，，，与相等吗？请说明理由.
圆周角定理及其推论
新知探究
相等
圆周角定理及其推论
新知探究
追问1 若弧弧，吗？
(
(
圆周角定理及其推论
新知探究
追问1 若弧弧，吗？
追问2 反过来，若，
那么 成立吗？（成立）
(
(
圆周角定理及其推论
新知探究
同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角和直径的关系
新知探究
如图，线段是的直径，点是上的任意一点（除点、外），那么，就是直径所对的圆周角，想一想，会是怎样的角？
圆周角和直径的关系
新知探究
解： ，
、都是等腰三角形.
，
又180°.
180°÷2 90°.
圆周角和直径的关系
新知探究
圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
圆内接四边形
新知探究
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形
新知探究
问题1 如图，四边形为的内接四边形，为四边形的外接圆，与, 与之间的关系是什么？
圆内接四边形
新知探究
弧和弧所对的圆心角的和是周角，
180°，
同理180
课堂练习
1.如图，点、、 、在上，点与点在点
、 所在直线的同侧， 35 .
(1) ，理由
是_________________________________________________;
70
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(2) ____ ，理由是________________________.
同弧所对的圆周角相等
35
课堂练习
2 ．如图， 是的直径， 80°.
求的大小.
解： 是的直径，
90°（直径所对的圆周角等于90°.）
180°
180° 90° 80°＝10°.
课堂练习
1．四边形是的内接四边形，且°，
80°，则 ， .
2．的内接四边形中， ，
则_______.
70
100
90
课堂小结
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的)，
它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
圆周角的定义
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
圆周角定理
课堂小结
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补.
圆周角定理的推论
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
圆周角和直径的关系
课后练习
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
课后练习
2.已知的三个顶点在上,
50°,
47°, 则 ．
课后练习
3.（选做）如图， 的顶点、、 都在上，
30 °， ，则的半径是.24.1.4圆周角
一、内容及其解析
（一）内容
圆周角的定义
（二）内容解析
1.内容本质
是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
2.蕴含的思想和方法
在探索同弧所对的圆周角和圆心角的关系时， 通过分类讨论的方法， 将情况分为三种： 圆心在圆周角的边上、 圆心在圆周角的内部、 圆心在圆周角的外部。 这种分类讨论的数学思想体现了对问题的全面分析， 确保了问题的完整性和准确性.
此外， 通过回顾圆周角定理的证明过程， 可以体会到探究过程中的数学思想方法的运用， 特别是“特殊到一般”的转化思想。 这种思想方法不仅有助于理解圆周角定理的推导过程， 还有助于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力
.3.知识的上下位关系
圆周角的知识上下位关系体现在其与圆心角的关系上， 具体为圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
.4.育人价值
通过学生观察、 分析、 想象、 归纳和逻辑推理等实验过程， 可以培养学生合作意识和创新能力。 这种教学方法不仅注重知识的传授， 还强调了学习过程中的情感态度与价值观的培养， 使学生能够更好地理解和应用圆周角的概念和圆周角定理
（三）教学重点
探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质及圆内接四边形对角互补的结论.
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及性质；
2.圆内接多边形、多边形的外接圆的概念；
3.圆内接四边形对角互补.
4.引导学生能主动地通过：观察、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力与创新精神，从而提高数学素养；
5.初步运用圆周角定理解决相关问题.
（二）教学难点
发现并证明圆周角定理
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
（一）复习导入 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？（ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.）问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点 （∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.）图1师生活动：教师提问，学生思考并积极回答.【设计意图】通过复习导入，以提问的方式开启本节课的学习，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂.
足球场有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好.”在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
分别测量图中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？
(1)在圆周角的一条边上；
(2)在圆周角的内部；
(3)在圆周角的外部. （2） （3）分析第(1)种情况：分析第(2)种情况：作CO的延长线角交⊙O于点DACB＝∠ACD+∠BCDAOB＝∠AOD+∠BODAＣB＝ （∠AOD+∠BOD） ＝ ∠AOB分析第(3)种情况：作AO的延长线交⊙O于点D师生活动：教师引导学生对三种情况进行分析，教师进行板书，和学生一起归纳：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；活动三 圆周角定理的推论问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.相等追问1 若弧CE=弧BC，吗？追问2 反过来，若，那么 成立吗？（成立）师生活动：教师引导学生进行分析，教师进行板书，和学生一起归纳：同弧或等弧所对的圆周角相等.活动四 圆周角和直径的关系如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.师生活动：教师引导学生进行分析，教师进行板书，和学生一起归纳：圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.活动五 圆内接四边形 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 问题1 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系是什么？∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°.师生活动：教师引导学生进行分析，教师进行板书，和学生一起归纳：圆的内接四边形的对角互补.【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养
（三）应用新知，解决问题1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .(1)∠BOC= 70 ，理由是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(2)∠BDC= 35 ，理由是 同弧所对的圆周角相等.2. 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°.3．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= 70° ，∠D= 100° .2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= 90° .【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）巩固练习，深化提高1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ．3.（选做）如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 .【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
24.1.4圆
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