24.2.1点和圆的位置关系
一、内容及其解析
（一）内容
点和圆的位置关系
（二）内容解析
1.内容本质
点和圆的位置关系主要包括三种基本关系： 点在圆外、 点在圆上、 点在圆内
2.蕴含的思想和方法
点和圆的位置关系蕴含了数学中的基础思想和方法， 主要包括几何学中的基本概念、 空间关系的抽象理解、 以及符号与图形表达之间的转换
.3.知识的上下位关系
点和圆的位置关系知识的上下位关系主要涉及点与圆之间的基本位置关系， 包括点在圆上、 点在圆外两种情况。 这些关系是学习空间几何的基础， 对于理解更复杂的空间对象之间的关系至关重要
.4.育人价值
点和圆的位置关系知识的上下位关系主要涉及点与直线之间的基本位置关系， 包括点在圆上、 点在圆外两种情况，这两种基本的位置关系构成了点和圆关系的基础， 对于理解空间几何中的其他复杂关系，， 具有重要的指导意义。 这些关系的理解和掌握， 有助于学生在空间想象、 逻辑推理和数学建模等方面的发展， 从而提升数学学科素。
（三）教学重点
探索点和圆的位置关系
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
1.掌握点和圆的三种位置关系的判别；
2.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
3.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力；
4.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.
（二）教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
（一）情境导入活动一 点和圆的位置关系问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？师生活动：教师提问，学生思考并积极回答.【设计意图】通过复习导入，以提问的方式开启本节课的学习，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂.
如图，分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC.于是以点O为圆心，OA(或OB、OC)为半径，便可作出经过A、B、C三点的圆.
用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.
如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、A′B′都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.师生活动：教师引导学生对三种情况进行分析，教师进行板书，并归纳：反证法的一般步骤：假设命题的结论不成立从这个假设出发，经过推理，得出矛盾由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养
（三）应用新知，解决问题1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 . 2.下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )(3)经过三点一定可以确定一个圆( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) 3.如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．解：连接OB，过点O作OD⊥BC.则在中即△ABC的外接圆的半径为13cm.4.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°即三角形的内角和为180度这与∠A+∠B+∠C>180°矛盾．假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）巩固练习，深化提高 1.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .2.如图，已知 Rt△ABC 中 ，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径. 3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ）A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外 【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
24.2.1点和圆的位置关系
知识点区 PPT展示区 例题讲解区(共31张PPT)
点和圆的位置关系
九年级上
数学
人教版
24.2.1
授课人：一起课件
重点：探索点和圆的位置关系
难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的
探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.
学习目标
情境导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
问题
新知探究
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内
点在圆上
点在圆外
点和圆的位置关系
新知探究
问题2：设点到圆心的距离为,圆的半径为，量一量在点和圆三种不同位置关系时，与有怎样的数量关系？
点和圆的位置关系
新知探究
点在圆上
点在圆内
点在圆外
点和圆的位置关系
新知探究
符号“ ”读作“等价于”，表
示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.
点在圆外
点在圆上
点在圆内
点和圆的位置关系
新知探究
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示。弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩就起好。
同心圆
点和圆的位置关系
新知探究
我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.
问题1如何过一个点作一个圆？过点可以作多少个圆？
A
以不与点重合的任意一点为圆心，以这个点到点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
过不共线三点作圆
新知探究
我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.
问题2：如何过两点、作一个圆？过两点可以作多少个圆？
作线段的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点或的距离为半径画圆即可;
过不共线三点作圆
新知探究
A
B
作线段的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点或的距离为半径画圆即可;
可以作无数个圆，圆心在线段的垂直平分线上.
过不共线三点作圆
新知探究
思考 经过不在同一条直线上的三个点，，能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
点击观看视频
过不共线三点作圆
新知探究
思考 经过不在同一条直线上的三个点，，能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
任取三点，，
连接，
作， 的中垂线
取中垂线的交点为圆心， （或、 ）为半径作圆
过不共线三点作圆
你看懂了吗
新知探究
定理：
不在同一直线上的三个点确定一个圆
过不共线三点作圆
新知探究
三角形的外接圆及外心
由图可以看出，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
是的外接圆，点是的外心。反过来， 是的内接三角形。
新知探究
三角形的外接圆及外心
三角形的外心一定在三角形的内部吗？分别作出下面三个
三角形的外接圆，看看它们的外心的位置有什么特点？
新知探究
三角形的外接圆及外心
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
新知探究
三角形的外接圆及外心
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
新知探究
反证法
思考 经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗
l1
l2
A
B
C
P
如图，假设过同一条直线上三点、、可以作一个圆，设这个圆的圆心为，那么点既在线段的垂直平分线1上，又在线段的垂直平分线2上，即点为1与2的交点，而1，2这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆。
新知探究
上面证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一直线上的三个点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法。
反证法
新知探究
用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”
如图，我们要证明：如果，那么12.假设12，过点作直线，使′2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得这样，过点就有两条直线、 都平行于，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明假设12不正确，从而12。
反证法
新知探究
反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立
从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
反证法
课堂练习
1. 的半径为，、、三点到圆心的距离分别为、、，则点、、与的位置关系是：点在 ；点在 ；点在 .
圆内
圆上
圆外
课堂练习
2.下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
课堂练习
3.如图，在中，是它的外心， 24，
到的距离是5，求的外接圆的半径．
解：连接，过点作
则
在中，
即的外接圆的半径为13 .
课堂练习
4.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°、求证： 中至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设中没有一个内角小于或等于60°
则60°, 60°, 60°
60°6060°180°
即三角形的内角和为180度
这与180°矛盾．假设不成立
中至少有一个内角小于或等于60°
课堂小结
点在圆外 >
点在圆上 =
点在圆内 <
点与圆的位置关系
一个三角形的外接圆是唯一的
定理：
过不在同一直线上的三点
确定一个圆
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
课后练习
1.正方形的边长为2，以为圆心2为半径作，则点在 ；点在 ；点在_______
课后练习
2.如图，已知中 ，若12，5，求的外接圆半径.
课后练习
3. 的半径 为5，为原点，点的坐标为（3,4），则点与的位置关系为 （ ）
A.在内 B.在上
C.在外 D.在上或外
