(共30张PPT)
正多边形
和圆
九年级上
数学
人教版
24.3
授课人：一起课件
学习内容
正多边形的性质
正多边形的有关计算
用等分圆的方法画正多边形
正多边形的对称性
1.了解正多边形和圆的有关概念；
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系；
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
学习目标：
复习导入
1.等边三角形的三条边_____，三个内角_____，都是___°
2.正方形的四条边_____，四个内角_____，都是___°
相等
相等
相等
90
60
相等
复习导入
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
如果一个正多边形有条边，那么这个正多边形叫做正边形。
复习导入
日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，我们也可以得到许多美丽的图案(如下图)。你还能再举出一些这样的例子吗？
新知探究
正多边形的对称性
问题1正多边形的对称性
问题2矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为菱形不符合各角相等；
新知探究
问题3正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正边形都是轴对称图形，都有条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
正多边形的对称性
新知探究
如图，把分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形。
正多边形的性质
(
(
(
(
(
，
(
(
(
新知探究
又 五边形的顶点都在上
五边形是的内接正五边形， 是五边形的外接圆.
正多边形的性质
新知探究
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形的性质
新知探究
如图，点是正六边形的中心；是正六边形的半径；是正六边形的中心角； 是正六边形的边心距.
正多边形的性质
新知探究
正多边形的性质
问题1所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
问题2正多边形的边和角有什么样的关系呢？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。
新知探究
正多边形的性质
问题2正多边形的边和角有什么样的关系呢？
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角。正多边形的每个中心角都等于。
新知探究
正多边形的有关计算
问题1 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)。
实际问题
C
D
O
E
F
A
P
数学问题
新知探究
正多边形的有关计算
解：如图，连接，因为六边形是正六边形，所以它的中心角等于60°，是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此，亭子地基的周长：6×424(m)
作，垂足为。
在中，4m，2(m)，利用勾股定理，可得边心距2 (m)
亭子地基的面积24241.6(m2)
新知探究
正多边形的有关计算
问题1 正n边形的中心角怎么计算？
问题2正边形的边长，半径，边心距之间有什么关系
新知探究
正多边形的有关计算
问题1边长，边心距的正边形的面积如何计算？
, 其中为正变形的周长
新知探究
用等分圆的方法画正多边形
正多边形具有怎样的对称性
新知探究
用等分圆的方法画正多边形
正边形都是轴对称图形，它有条对称轴，它们都经过正多边形的中心；
当为奇数时，对称轴为各边的垂直平分线；
当为偶数时，对称轴为各边的垂直平分线及顶点、中心所在直线。
新知探究
用等分圆的方法画正多边形
它们是否为中心对称图形？
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
新知探究
用等分圆的方法画正多边形
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆有关。
新知探究
用等分圆的方法画正多边形
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。例如，画一个边长为1.5cm的正六边形时，
新知探究
用等分圆的方法画正多边形
可以以1.5cm为半径作一个，用量角器画一个等于60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形。
新知探究
用等分圆的方法画正多边形
利用这种方法，可以画出任意的正边形。
对于一些特珠的正多边形，还可以用圆规和直尺来作。例如，我们也可以这样来作正六边形。由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为的圆上依次截取等于的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为的正六边形。
课堂练习
1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星。
A
B
C
D
E
课堂练习
2.用等分圆周的方法画出下方图案:
课堂小结
正多边形的有关概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
如果一个正多边形有条边，那么这个正多边形叫做正边形。
正边形都是轴对称图形，它有条对称轴，它们都经过正多边形的中心；
当为奇数时，对称轴为各边的垂直平分线；
当为偶数时，对称轴为各边的垂直平分线及顶点、中心所在直线。
课堂小结
1.如图所示，正五边形内接于，则的度数是（ ）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
课堂小结
2. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要________ cm。
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为________度。（不取近似值）
课堂小结
4.如图，四边形是的内接正方形，若正方形的面积等于4，求的面积。24.3正多边形和圆
一、内容及其解析
（一）内容
正多边形和圆
（二）内容解析
1.内容本质
正多边形和圆的内容本质在于它们之间的紧密联系和相互影响， 通过正多边形的定义、 构造及其与圆的关系， 我们可以更深入地理解这两者在几何学中的地位和作用
2.蕴含的思想和方法
正多边形和圆不仅是数学教育中的重要概念， 它们所蕴含的思想和方法， 如数形结合、 转化思想以及特殊到一般的唯物辩证法思想， 对于培养学生的逻辑思维、 问题解决能力和创新精神具有重要意义
（三）教学重点
1.正多边形的有关概念，特殊正多边形的有关计算；
2.掌握圆内接正多边形的半径、边心距、边长三者之间的联系.
3. 用等分圆的方法画正多边形.
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
1.了解正多边形和圆的有关概念；
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系；
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
（二）教学难点
正多边形的半径、中心角、边心距、边长之间关系的正确理解与计算.4
掌握不同等分圆的方法等分圆
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
1.等边三角形的三条边_____，三个内角_____，都是___°
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，我们也可以得到许多美丽的图案(如下图).你还能再举出一些这样的例子吗？【设计意图】通过复习导入，以提问的方式开启本节课的学习，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂.
（二）探究新知活动一 正多边形的对称性问题1 什么叫做正多边形？各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为菱形不符合各角相等；问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.活动二 正多边形的性质如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.∵ ∴，∴ 同理 又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆. 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心；OD是正六边形ABCDEF的半径；∠AOF是正六边形ABCDEF的中心角；OG是正六边形ABCDEF的边心距.问题1 所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.问题2 正多边形的边和角有什么样的关系呢？正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于.活动三 正多边形的有关计算问题1 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).解：如图，连接OB，OC.因为六边形是正六边形，所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此，亭子地基的周长：l=6×4=24(m)作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OPC中，OC=4m，PC=BC=2(m)，利用勾股定理，可得边心距r== (m)亭子地基的面积S=lr=×24×≈41.6(m2)问题1 正n边形的中心角怎么计算？问题2 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？问题3 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？, 其中活动四 用等分圆的方法画正多边形正多边形具有怎样的对称性？正n边形都是轴对称图形，它有n条对称轴，它们都经过正多边形的中心；当n为奇数时，对称轴为各边的垂直平分线；当n为偶数时，对称轴为各边的垂直平分线及顶点、中心所在直线.它们是否为中心对称图形？边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆有关. 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.例如，画一个边长为1.5cm的正六边形时，可以以1.5cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形.利用这种方法，可以画出任意的正n边形.对于一些特珠的正多边形，还可以用圆规和直尺来作.例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养
（三）应用新知，解决问题1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.2.用等分圆周的方法画出下方图案:【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）巩固练习，深化提高1. 如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ）A．60° B．45° C． 36° D． 30° 2. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值）4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
24.3正多边形和圆
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