(共26张PPT)
弧长和扇
形面积
九年级上
数学
人教版
24.4
授课人：一起课件
学习内容
掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算.
01
通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力、分析问题、解决问题的能力.
02
了解圆锥母线的概念.
03
掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算.
04
复习导入
1.半径为3cm的圆的周长是_______cm，面积是_______cm2.
2.如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为_______.
18.84
28.26
根据图形得：小圆扫过的阴影部分的面积是
32
故答案为32．
新知探究
半径为的圆，周长是多少？
圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
360°
与弧长相关的计算
新知探究
1°的圆心角所对的弧长是多少？
若设半径为，°的圆心角所对的弧长为 (4)80°的圆心角所对的弧长是多少？
与弧长相关的计算
新知探究
注意：也用弧长公式进行计算时，要注意公式中的意义。表示 °圆心角的倍数，它是不带单位的。
(
(
与弧长相关的计算
新知探究
与弧长相关的计算
牛刀小试
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“
展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直
长度(结果取整数)。
(
解：由弧长公式，可得的长
因此所要求的展直长度
新知探究
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
与扇形面积相关的计算
新知探究
问题1 半径为的圆，面积是多少？
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
与扇形面积相关的计算
新知探究
与扇形面积相关的计算
180°
r
O
90°
O
r
45°
O
r
n°
O
r
圆心角占周角比例
扇形占圆面积比例
扇形的面积
新知探究
与扇形面积相关的计算
180°
r
O
90°
O
r
45°
O
r
n°
O
r
圆心角占周角比例
扇形占圆面积比例
扇形的面积
扇形面积公式：半径为的圆中，圆心角为°的
扇形的面积：
新知探究
与扇形面积相关的计算
问题3 扇形的面积与哪些因素有关？
①公式中的意义。表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）。
注意
新知探究
与扇形面积相关的计算
问题3 扇形的面积与哪些因素有关？
圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大。
新知探究
与扇形面积相关的计算
问题3 扇形的面积与哪些因素有关？
圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大。
扇形的面积与圆心角、半径有关。
新知探究
与扇形面积相关的计算
问题4 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
比较扇形面积公式和弧长公式，可以用弧长表示扇形的面积：扇形其中为扇形的弧长，为半径。
新知探究
与扇形面积相关的计算
例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)。
解：连接，，作弦的垂直平分线，垂足为，交于点，连接
，
牛刀小试
新知探究
与扇形面积相关的计算
又 ，
是线段的垂直平分线
，
从而 ，有水部分的面积：扇形
新知探究
与扇形面积相关的计算
弓形面积扇形面积三角形的面积
新知探究
圆锥及相关概念
新知探究
圆锥及相关概念
母线有无数条，且都相等。
圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。
圆锥的相关概念
新知探究
圆锥及相关概念
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为
思考 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
新知探究
圆锥及相关概念
例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(取3.142，结果取整数)？
实际问题
数学问题
牛刀小试
新知探究
圆锥及相关概念
解：根据题意，下部圆柱的底面积为，高；上部圆锥的高
圆柱的底面圆的半径
侧面积为
圆锥的母线长侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
课堂小结
弧长
弓形面积扇形面积三角形的面积
扇形的弧长：，
圆锥的侧面积：，
圆锥的全面积：
扇形面积：
课后练习
1.已知半径为的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积扇
2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是，弧所对的圆心角是。这段圆弧所在圆的半径是多少米(结果保留小数点后一位)？
课后练习
3.如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？24.4弧长和扇形公式
一、内容及其解析
（一）内容
弧长和扇形公式
（二）内容解析
1.内容本质
弧长公式用于计算圆弧的长度， 其基本公式为， 其中代表圆心角的度数，代表半径。 这个公式描述了圆弧的长度与圆心角和半径之间的关系。 此外， 弧长公式还涉及到圆心角与弧度的转换， 即圆心角弧度数等于圆心角角度数乘以。
扇形面积公式用于计算扇形的面积， 其基本公式为 ， 其中代表圆心角的度数， 代表半径。 这个公式描述了扇形面积与圆心角和半径之间的关系。 扇形面积的计算也可以采用弧度制， 即如果圆心角采用弧度单位， 则扇形面积公式可以简化为， 其中代表圆心角的弧度数。
2.蕴含的思想和方法
弧长和扇形公式的推导和应用蕴含了数学中的基本思想和方法， 包括几何图形的性质分析、 公式推导和实际应用。
首先， 弧长和扇形公式的推导基于几何图形的性质分析。 弧长和扇形面积的计算涉及到对几何图形的理解和分析。 弧长公式和扇形面积公式的推导， 需要对扇形的几何特性有深入的理解， 包括扇形的定义、 扇形与圆的关系等。 这些公式的推导过程体现了从具体到抽象的思维过程， 通过对具体图形的分析， 总结出适用于一般情况的公式。
其次， 这些公式的应用体现了数学中的方法论。 弧长和扇形公式的应用不仅限于计算， 还包括对几何图形的性质和关系的探索。 例如， 通过弧长公式， 可以计算圆的某一段弧的长度， 这在几何、 物理等领域有广泛的应用。 而扇形面积公式则用于计算扇形的面积， 这在建筑设计、 工程计算等方面非常有用。
最后， 这些公式还体现了数学中的精确性和逻辑性。 弧长和扇形公式的推导和应用都需要严格的数学逻辑和精确的计算。
（三）教学重点
1.弧长、扇形面积公式的导出及应用.
2.圆锥侧面积和全面积的计算公式的探索与运用.
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
1.掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算.
2.通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力、分析问题、解决问题的能力.
3.了解圆锥母线的概念；
4.理解圆锥侧面面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用.
（二）教学难点
1.对图形的分析.
2.探索圆锥侧面积计算公式.
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
1.半径为3cm的圆的周长是_____cm，面积是_____cm2.
2.如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为_____.【设计意图】通过复习导入，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂.
(1)半径为R的圆，周长是多少？C=2πR
(2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？360°
(3)1°的圆心角所对的弧长是多少？ 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 (4)80°的圆心角所对的弧长是多少？ 注意：也用弧长公式进行计算时，要注意公式中的意义．表示圆心角的倍数，它是不带单位的.可以用表示的长.师生活动：教师提问并引导学生思考，学生积极作答，教师对学生的答案进行评析.活动二 与扇形面积相关的计算扇形如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 问题1 半径为r的圆,面积是多少？问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢 师生活动：教师提问并引导学生思考，学生积极作答，教师对学生的答案进行评析,并一起归纳：扇形面积公式：半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积： 注意： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.问题3 扇形的面积与哪些因素有关？圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大.师生活动：教师提问并引导学生思考，学生积极作答，教师对学生的答案进行评析,并一起总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.问题4：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 比较扇形面积公式和弧长公式，可以用弧长表示扇形的面积：S扇形=其中l为扇形的弧长，R为半径.活动三 锥及相关概念圆锥的相关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高.母线有无数条，且都相等.圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：h2+r2=l2思考 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养
解：连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC.
∵ OC=0.6m，DC=0.3m
∴ OD=OC-DC=0.3(m)，∴ OD=DC
又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线
∴ AC=AO=OC，从而 ∠AOD=60°，∠AOB=120°
有水部分的面积：S=S扇形OAB-S△OAB
=×0.62-AB OD
解：右图是一个蒙古包的示意图.
根据题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2=1.8m；上部圆锥的高h1=3.2-1.8=1.4(m).
圆柱的底面圆的半径侧面积为 圆锥的母线长侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡.【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
解：圆锥的底面周长是80πcm
侧面积是×80π×50=2000π(cm2)
因此，制作100个这样的烟囱帽至少需要铁皮100×2000π=200000π(cm2)=20π(m2)【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
24.4弧长和扇形公式
知识点区 PPT展示区 例题讲解区
