21.1 一元二次方程
一、内容和内容解析
(一)内容
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
(二)内容解析
1.内容本质
一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的，一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
2.蕴含的思想方法
通过回顾小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，进而通过类比，引申得出一元二次方程定义，这一过程中蕴含着类比的数学思想，体现由数到式的发展过程。
3.知识的上下位关系
是学习了一元一次方程、二元一次方程组等知识的基础上进一步学习一元二次方程.
4.育人价值
学生经过探究、归纳，得到一元二次方程的概念，这一过程提高了学生的数学运算能力和推理能力，有助于激发学生对数学学习的兴趣和热情。
（三）教学重点
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.
二、教学目标及教学难点
（一）教学目标
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.
（二）教学难点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
（三）教学理念
以学生为主轴，以问题为主线，以教材为主源。
四、教学过程设计
（一）复习引入 导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 教师活动：点题，板书课题. 【设计意图】：联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容
（二）新知探究 活动一 问题1 如图有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形 追问1 设切去的正方形的边长为则盒底的长是什么？宽是多少？ 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛 分析： 追问1参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 追问2全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 追问3 方程中未知数的个数和次数各是多少？ 追问4 下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 师生活动：学生读题找等量关系列方程.学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念. 【设计意图】淡化列方程难度，重点突出方程特点 活动二 概念归纳： 1.一元二次方程定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数（一元）并且未知数的最高次数是2（二元）的方程，叫做一元二次方程 分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数.是1，最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： 分析： 为什么规定？ 关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？ 特殊形式：；； 师生活动：学生尝试叙述，然后师生归纳，师生分析概念和一般形式，学生根据相关概念作答，复习巩固. 【设计意图】通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.全面理解和掌握，识记、理解相关概念. 活动三 课本例题：方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号. 1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念：一元二次方程的根的概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 2.下面哪些数是方程x2+5x-6=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 答：1 3.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？ 答：一元一次方程的根有1个,一元二次方程可能有2个根,也可能没有根 师生活动：学生类比一元一次方程的解尝试叙述，学生思考，讨论完成，
【设计意图】：通过类比，迁移提高，加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知
（三）课堂练习 （1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________． （3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________ 师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正 【设计意图】：使学生巩固提高，了解学生掌握情况
(四) 课堂小结 1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数. 2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 师生活动：师生归纳总结，学生作笔记
【设计意图】：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解一元二次方程的概念，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化.
（五）课后练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系
数和常数项:
2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1) 一个圆的面积是，求半径;
(2) 一个直角三角形的两条直角边相差，面积是求较长的直角边的长,
3.下列哪些数是方程的根
-4，一3，一2，一1，0，1，2，3，4.
4.一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是多少 5.阅读课本并查阅一元二次方程的相关资料 【设计意图】除了布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载(共28张PPT)
一元二次方程
21.1
初中数学九年级上册人教版
ax
bx
+
c
=
0
复习导入
01
探究新知
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课后练习
05
21.1
一元二次方程 /
目录
CONTENTS
小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识。先来学习一元二次方程的有关概念。
一元二次方程
21.1
复习导入
01
探究新知
02
如图有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形
问题1
探究新知
02
答：设切去的正方形的边长为，
则盒底的长为，宽为.
设切去的正方形的边长为，则盒底的长是什么？宽是多少？
追问1
探究新知
02
设切去的正方形的边长为则盒底的长为，宽为.根据方盒的底面积为，得
整理，得
化简，得
由方程①可以得出所切正方形的具体尺寸。
探究新知
02
方程①中未知 数的个数和最高次数各是多少
未知数的个数是1，最高次数是2.
探究新知
02
答：每两个队之间都要比赛一场
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛
问题2
分析：问题1参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
探究新知
02
全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？
问题2
探究新知
02
全部比赛的场数为4×7=28
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场。
列方程
整理，得
化简，得
②
由方程②可以得到参赛队数
探究新知
02
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少
未知数的个数是1，最高次数是2.
探究新知
02
√
下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？
追问2
√
√
探究新知
02
概念归纳
一元二次方程定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数（一元）并且未知数的最高次数是2（二元）的方程，叫做一元二次方程。
分析
首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.
探究新知
02
为什么规定 ≠0？
=0为一元一次方程
一元二次方程的一般形式：
a
探究新知
02
关于x的一元二次方程a的各项分别是什么？各项系数是什么？
是二次项，是二次项系数；
是一次项，是一次项系数；
是常数项。
探究新知
02
特殊形式
探究新知
02
方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
分析
类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号。
探究新知
02
解：去括号，得
.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为.
探究新知
02
概念
一元二次方程的根的概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念：
探究新知
02
2.下面哪些数是方程+5 +6=0的根？
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
3.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？
一元一次方程的根有1个，一元二次方程可能有2个根，也可能没有根。
√
课堂练习
03
（1）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2)（x+5）=x2-1 ④3x2- =0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
课堂练习
03
解析
显然有两个，一元二次方程就只含一个未知数，而且未知数最高次数为2的整式方程：
A，显然满足
B，虽然好像是，但是常数a、b、c是不确定的，若a是0，则可能不满足，所以不对
C，将左边展开，两遍抵消，未知数最高项就是1了，故不满足；D，显然也满足
综上所述，正确的有两个，答案是B
课堂练习
03
（2）关于x的方程是一元二次方程，则a范围______。
分析
根据一元二次方程的定义知：a-1≠0，据此可以求得a的取值范围。
解答：根据题意，得
a-1≠0，
解得，a≠1．
课堂练习
03
（3）已知方程的一个根是则的值为________
分析
将已知的根代入原方程，即可求得m的值。
【详解】
∵方程5+mx 6=0的一个根是x=3，
∴5×9+3m 6=0
解得：m= 13.
故答案为： 13.
课堂小结
04
1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.
2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
课后练习
05
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1) 3x +1=6x;
(2) 4x2+5x=81;
(3) x(x+5)=0;
(4) (2x-2)(x-1)=0;
(5) x(x+5)=5x-10;
(6) (3x-2)(x+1)=x(2x-1).
课后练习
05
2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1) 一个圆的面积是2πm ，求半径;
(2) 一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm，求较长的直角边的长。
课后练习
05
3.下列哪些数是方程x +x-12=0的根
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
4.一个矩形的长比宽多1cm，面积是132 cm，矩形的长和宽各是多少
