(共30张PPT)
21.2.2
初中数学九年级上册人教版
ax
bx
+
c
=
0
公式法
复习导入
01
探究新知
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课后练习
05
21.2.2
公式法 /
目录
CONTENTS
公式法
复习导入
01
用配方法方程6 7 +1=0
移项
21.2.2
公式法
复习导入
01
21.2.2
二次项系数化为1
配方
公式法
复习导入
01
21.2.2
+
+
公式法
复习导入
01
21.2.2
配方法解一元二次方程的步骤是什么？
①移项
②化二次项系数为1
③方程两边都加上一次项系数的一半的平方
④原方程变形为的形式
⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解
公式法
探究新知
02
21.2.2
问题1
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)。你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题。
用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).
解：
移项得
方程
公式法
探究新知
02
21.2.2
配方得
即
接下来能用直接开平方解吗？
式子-4ac的值有以下三种情况：
∵a≠0，4>0
公式法
探究新知
02
21.2.2
（1）当-4ac>0时，
这时,由①得，即
∴ =
一元二次方程的求根公式
∴ =
公式法
探究新知
02
21.2.2
（2）当 =0时
这时=0, 由①可知，方程有两个相等的实数根
公式法
探究新知
02
21.2.2
（3）当 <0时
<0
而x取任何实数都不能使上式成立
因此，方程无实数根。
公式法
探究新知
02
21.2.2
由上可知，一元二次方程 (≠0)的根由方程的系数a,b,c 确定。
因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 (≠0) ，当 ≥0 时，将a,b,c 代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
公式法
探究新知
02
21.2.2
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: (≠0)
2. ≥0
注意
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
例1．用公式法解下列方程。
4
分析：
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
31=0
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
解：
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
解：
将方程化为一般形式：
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
解：
将方程化为一般形式：
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
解：
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
要点归纳
公式法解方程的步骤
①变形: 化已知方程为一般形式
②确定系数:用a,b,c写出各项系数
③计算: 的值
④判断：若 ≥0，则利用求根公式求出;若 <0，则方程没有实数根。
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
一元二次方程根的判别式
我们把叫做一元二次方程 根的判别式
通常用符号“ ”表示
即 =
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
判别式的情况 根的情况
两个不相等的实数根
0 两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
公式法
应用新知，解决问题
03
21.2.2
根的判别式使用方法
①化为一般式，确定a,b,c的值。
②计算的值，确定的符号。
③判别根的情况，得出结论。
公式法
课堂练习
04
21.2.2
1.已知一元二次方程+ ，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：
原方程变形为+ -1=0，∵ =1-4×1×(-1)=5＞0
∴该方程有两个不相等的实数根，故选B。
B
公式法
课堂练习
04
21.2.2
2.不解方程，判断下列方程的根的情况。
（1）（2） (3) 7 =5
解析：
a=3,b=4,c=－3,∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根。
公式法
课堂练习
04
21.2.2
(3) 7 =5
解析：
(3)方程化为：－ y+5=0
∴－4ac=－4×5×5= 51<0
∴方程有两个相等的实数根
公式法
课堂练习
04
21.2.2
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时
要先把方程转化为一般形式(a≠0)
- 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
- 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
- 4ac < 0时,方程无实数根.
公式法
反思小结
04
21.2.2
本节课是按照什么思路来进行学习的？
1
本节课学习了知识？
2
本节课的学习用到了哪些思想方法？
3
你还有什么其他收获？
4
公式法
反思小结
04
21.2.2
一化（一般形式）
二定（系数值）
三求（Δ值）
四判（方程根的情况）
五代（求根公式计算）
=
根的判别式b2-4ac
公式法
课后练习
04
21.2.2
一、选择题
1. 用公式法解方程4=3，得到（ ）
A.
C.
B.
D.
公式法
课后练习
04
21.2.2
2. ， 是一元二次方程c=0(a≠0)的两根，
（1）试推导
（2）求代数式
c
的值
三、综合提高题
1. 一元二次方程c=0(a≠0)的求根公式是_____，条件是____
二、填空题
2. 当=___时，代数式2-8+12的值是-4，21.2.1公式法
一、内容和内容解析
(一)内容
用公式法解一元二次方程
(二)内容解析
1.内容本质
公式法是解一元二次方程的一种方法，也指套用公式计算某事物。
2.蕴含的思想方法
另外还有配方法、十字相乘法、直接开平方法与分解因式法等解方程的方法。公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。
3.知识的上下位关系
根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法
4.育人价值
学生经过探究、归纳，学习公式法，这一过程提高了学生的数学运算能力和推理能力，有助于激发学生对数学学习的兴趣和热情。
（三）教学重点
求根公式的推导和公式法的应用．
二、教学目标及教学难点
（一）教学目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
（二）教学难点
一元二次方程求根公式法的推导
（三）教学理念
以学生为主轴，以问题为主线，以教材为主源。
四、教学过程设计
（一）复习引入 用配方法方程 师生活动：学生根据问题列出方程,教师点评： 移项，得： 二次项系数化为1，得： 配方，得： 问题2配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【设计意图】：检验学生知识点掌握情况，了解学生认知基础，为后续教学做好铺垫。巩固已学知识，将新旧知识系统地联系起来，便于教师循序渐进地开展教学。
（二）探索新知 问题1 如果这个一元二次方程是一般形式，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 解：移项，得： 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ① 追问1:接下来能用直接开平方解吗？ 且 式子的值有以下三种情况： （1） 这时,由①得 . 方程有两个不相等得实数根 ∴x1=，x2= （2） 这时,由①可知，方程有两个相等得实数根 （2） 这时,由①可知， 由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当0时，将代入式子就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，动静结合，充分发挥学生的主体地位，体会从特殊到一般、数形结合的思想，发展运算能力、推理能力和几何直观的素养，从而突破本节课的教学难点.
（三）应用新知，解决问题 例1．用公式法解下列方程． （2） （3）（4） 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0 x= ∴x1=，x2= （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0 x= x1=2，x2=- （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0 ∴x= ∴x1=，x2= （4）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
(四) 课堂练习 1.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. 2.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有两个相等的实数根． 【设计意图】：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固公式法，积累解题经验.
（五）反思小结，构建网络 1.本节课是按照什么思路来进行学习的？ 2.本节课学习了知识？ 3.本节课的学习用到了哪些思想方法？ 4.你还有什么其他收获？ 【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）巩固练习，深化提高 一、选择题 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）． A．x= B．x= C．x= D．x= 二、填空题 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4． 三、综合提高题 2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根， （1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（ (2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
