21.2.1配方法
一、内容和内容解析
(一)内容
用开平方法及配方法解一元二次方程
(二)内容解析
1.内容本质
一元二次方程可以看成是对一元一次方程在“次”上的推广，解一元二次方程的基本思想是“降次”，把它转化为一次方程，开平方法是根据平方根的概念，将形如或 的方程开平方，把二次方程转化为一次方程求解，它是配方法的基础. 配方法是解一元二次方程的通法之一，结合具体方程，对比可用开平方法解的方程，通过将方程配方化为能运用开平方法求解的方程的形式，进行求解，从而达到降次的目的.
2.蕴含的思想方法
一元二次方程可以看成是对一元一次方程在“次”上的推广，解一元二次方程的基本思想是“降次”、“消元”.
3.知识的上下位关系
配方法不仅为下节课推导一元二次方程的求根公式作准备，而且这种利用配方对式子进行变形的方法在初中代数以及高中的后续学习中经常用到.
4.育人价值
学生经过探究、归纳，学习配方法，这一过程提高了学生的数学运算能力和推理能力，有助于激发学生对数学学习的兴趣和热情。
（三）教学重点
理解配方法及用配方法解一元二次方程.
二、教学目标及教学难点
（一）教学目标
(1)会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程.
(2)在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解.
（二）教学难点
如何配方
（三）教学理念
以学生为主轴，以问题为主线，以教材为主源。
四、教学过程设计
（一）引入课题 问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高
师生活动：教师展示章前引言问题，学生根据问题列出方程.教师追问：这个方程如何来解 学生观察方程，发现与我们以前学过的方程不同，解方程有困难.
【设计意图】：以人体雕像问题为本节课的开端，不仅培养应用意识，而且提出了本节课要解决的问题，使学生目标明确，并激发探究意识。
追问1 你会解哪些方程，如何解的
师生活动：学生回顾以前学习过的方程，其中二元、三元一次方程组是转化为一元一次方程进行求解，主要思想是“消元”.
【设计意图】：让学生再次体会已有方程知识之间的联系，为类比提出解一元二次方程的思路进行铺垫.
追问2 如何解一元二次方程
师生活动：教师引导学生思考得出，解一元二次方程需要将它降次转化为一元一次方程，利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本节课学习的主要内容.
【设计意图】：引出解一元二次方程的基本思路—一降次，明确学习内容——降次的方法.
（二）直接开平方法解一元二次方程 问题2 解方程，依据是什么
师生活动：教师先引导学生判断方程是一元二次方程，并指出系数.再根据平方根的意义解方程.
追问 请同学们尝试解方程，，这些方程有什么共同的特征
师生活动：学生口答解方程的过程，归纳出以上方程可化为的形式，并根据的取值范围得到根的三种情况.教师板书.
【设计意图】：根据平方根的意义解一元二次方程，是学生目前容易掌握的方法，也是这节课探求配方法的基础，在让学生口答解方程的基础上，归纳方程的特征及根的三种情况： 一般地，对于方程
①
(l)当时，根据平方根的意义，方程①有两个不等的实数根x
(2)当时，方程①有两个相等的实数根;
(3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程①无实数根.
问题3 怎样解方程
师生活动：学生尝试解方程.学生不难想到，先把看成一个整体，根据平方根的意义，将方程“降次”转化为两个一元一次方程或进行求解.
【设计意图】：让学生体会方程结构的特征，为后续实现化归奠定基础，
（三）探索配方法 问题4 怎样解方程 ① 师生活动：教师提出问题，学生观察、尝试后，有困难.教师追问：“你们会解什么类型的方程 能将这个方程转化为会解的形式吗 学生自主活动，发现已会解的方程可转化为
② 比较方程①②，找到联系与区别，请同学回答，教师引导其得出：方程①②左边的二次三项式中二次项和一次项是相同的；不同的是：方程②左边常数项是9，可以和二次项、一次项构成完全平方形式，而方程①左边常数项是4，不能和二次项、一次项构成完全平方式.
追问1 怎么样把方程①化成具有方程②那种形式的方程呢
师生活动：学生思考、讨论，发表意见；教师组织学生讨论，并引导学生发现解决问题的关键：把方程①左边的常数项4移项，使方程左边只有二次项和一次项，得到新方程：，要在方程③左边加9，就和方程2左边的形式一样了。
追问2 怎样保证变形的正确性呢
师生活动：学生思考后回答：要在方程两边加9.教师演示过程，给出教科书中的结构框图，两边加9，得，即.接下来，师生共同解方程.
【设计意图】：学生经历观察—发现—再观察—再发现—解决问题的过程，体会将一个不是完全平方式的二次式化为完全平方式的过程
问题5 以上解法中，为什么在方程③两边加9 加其他数可以吗 如果不可以，说明理由。
师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、发表意见，教师组织学生讨论，并引导学生发现：要想使方程左边成为完全平方式，对照完全平方式中一次项系数的特征，可知：当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，即，二次式就可以写成平方的形式.而加其他数不能把方程左边的式子化成完全平方式，所以不行。
【设计意图】：学生通过思考、讨论自主得出将上述方程转化为含有完全平方式的关键是常数项的选择。
问题6 结合方程①的解答过程回答：解一般二次项系数为1的一元二次方程的基本思路是什么 具体步骤是什么
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，组内交流，归纳总结，明确活动目的，发表观点，教师适时引导，得出：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.具体步骤：(1)移项；(2)在方程两边加上一次项系数一半的平方.
【设计意图】：引导学生在合作交流活动中，理解配方在解方程中的具体操作步骤. 4. 解决引言问题
问题7 解方程
师生活动：教师板书解此方程的步骤：移项、配方、开平方、求解，给出规范格式，完成引例.
【设计意图】：学生细化解题步骤，明确解题过程中每一步的目的，做到“按步操作、环环落实”，
问题8 通过解方程，，及引例中的方程，请归纳这些方程是怎样解的
师生活动：归纳出以上方程可化为，并根据的取值范围得到根的三种情况.
【设计意图】：归纳方程的特征，体现化归思想，让学生了解根的三种情况，为下节课一般式的推导奠定基础.
(四) 课堂练习 1.应用配方法求最值. (1) 的最小值； (2)的最大值. 2.若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状 【设计意图】：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固配方法，积累解题经验.
（五）课堂小结 配方法的应用类别解题策略1.完全平方式中的求参如:已知是一个完全平方式，所以一次项系数-半的平方等于16，即2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负)对于一个关于x的二次多项式通过配方成的形式后，， 当时，可知其最小值:当时，可知其最大值.利用配方构成非负式的和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多 个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解如:，则， 即
【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解配方法的概念，总结应用配方法的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化. （六）课后练习 1.解下列方程. 2.已知代数式的值与代数式的值相等，求x的值. 3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式的值总是负数，并求出它的最大值. 4.已知的三边长，且，试判断的形状 5.阅读课本并查阅配方法的相关资料 【设计意图】除了布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识(共25张PPT)
配方法
21.2.1
初中数学九年级上册人教版
ax
bx
+
c
=
0
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高
配方法
21.2.1
引入课题
01
问题1
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高
配方法
21.2.1
引入课题
01
问题1
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系:
，即.
设雕像下部高，可得方程,
整理得
A
C
B
配方法
21.2.1
引入课题
01
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系:
，即.
设雕像下部高，可得方程,
整理得
A
C
B
这个方程如何来解
你会解哪些方程，如何解的
配方法
21.2.1
引入课题
01
追问1
二元、三元一次方程组是转化为一元一次方程进行求解，主要思想是“消元”
如何解一元二次方程
配方法
21.2.1
引入课题
01
追问2
利用什么方法将
“二次”降为“一次”
一元二次方程
一元一次方程
降次
解方程，依据是什么
配方法
21.2.1
直接开平方法解一元二次方程
02
问题2
请同学们尝试解方程，，，……
这些方程有什么共同的特征
追问
是一元二次方程，系数1.再根据平方根的意义解方程.
得或
方程可化为的形式
配方法
21.2.1
直接开平方法解一元二次方程
02
一般地，对于方程
①
(1)当时，根据平方根的意义，方程①有两个不等的实数根
(2)当时，方程①有两个相等的实数根;
(3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程①无实数根.
怎样解方程
配方法
21.2.1
直接开平方法解一元二次方程
03
问题3
先把()看成一个整体
或
降次
或
怎样解方程
配方法
21.2.1
探索配方法
03
问题4
你们会解什么类型的方程 能将这个方程转化为会解的形式吗
①
怎样解方程
配方法
21.2.1
问题4
比较方程①②，找到联系与区别
①
探索配方法
03
②
怎样解方程 2+6 +4=0
配方法
21.2.1
问题4
①
方程①②左边的二次三项式中二次项和一次项是相同的
相同:
不同：
方程②左边常数项是9，可以和二次项、一次项构成完全平方形式，而方程①左边常数项是4，不能和二次项、一次项构成完全平方式.
探索配方法
03
②
怎样解方程
配方法
21.2.1
问题4
怎么样把方程①化成具有方程②那种形式的方程呢
追问
①
移项
探索配方法
03
怎样保证变形的正确性呢
配方法
21.2.1
追问2
两边加9
探索配方法
03
移项
两边加
9
配方法
21.2.1
探索配方法
03
两边加
9
以上解法中，为什么在方程③两边加9
加其他数可以吗
移项
配方法
21.2.1
探索配方法
03
移项
两边加
9
当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，即，二次式就可以写成平方的形式。而加其他数不能把方程左边的式子化成完全平方式，所以不行。
结合方程①的解答过程回答：解一般二次项系数为1的一元二次方程的基本思路是什么 具体步骤是什么
配方法
21.2.1
探索配方法
03
问题6
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
具体步骤：
(1)移项；
(2)在方程两边加上一次项系数一半的平方.
配方法
21.2.1
探索配方法
03
问题7
解方程
，移项得，两边同时加上1得，即，开平方得，所以， .
问题8
通过解方程，，及引例中的方程，请归纳这些方程是怎样解的
一移常数项，并将二次项系数化为1；二配完全平方式[配上（）2]；
三写；四直接开平方法解方程
配方法
21.2.1
课堂练习
04
1.应用配方法求最值.
(1) 的最小值；
(2)的最大值.
∴
∴当 ，原式取最大值=
解：
配方法
21.2.1
课堂练习
04
1.应用配方法求最值.
(1) 的最小值；
(2)的最大值.
∵
∴当 ，原式取最小值
解：
配方法
21.2.1
课堂练习
04
2.若，，为的三边长，且，试判断的形状
解：
∵ ,
∴ .
∴ .
∵ ≥ ，≥ ≥ ，
∴ ， ， .
∴ ， ， .
∵ +
∴ + .
∴ 是直角三角形.
配方法
21.2.1
课堂小结
05
配方法的应用
类别 解题策略
完全平方式中的求参 如:已知是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即
求最值或证明代数式的值恒为正(或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成的形式后，， 当时，可知其最小值:当时，可知其最大值.
利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多 个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解如:，则， 即
配方法
21.2.1
课堂小结
05
配方法的定义 通过配成完全平方形式解一元一次方程的方法
配方法的步骤 一移常数项，并将二次项系数化为1；
二配完全平方式[配上（）]；
三写；
四直接开平方法解方程
配方法的应用 求代数式的最值或字母值
配方法
21.2.1
课后练习
05
1.解下列方程.
（1）；
（2）()；
（3）；
（4）
2.已知代数式的值与代数式的值相等，求的值.
配方法
21.2.1
课后练习
05
3.利用配方法证明：不论取何值，代数式的的值总是负数，并求出它的最大值.
5.阅读课本并查阅配方法的相关资料
4.已知，，为的三边长，且，试判断的形状
