(共37张PPT)
直线和圆的
位置关系
九年级上
数学
人教版
24.2.2
授课人：一起课件
复习导入
问题1
点和圆有几种位置关系？每种位置关系对应怎样的数量关系？
点与圆的位置关系
点在圆外 >
点在圆上 =
点在圆内 <
新知探究
思考：（1）在太阳升起的过程中，太阳和海平线会有几种位置关系？如果我们把太阳看作一个圆，把海平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
用定义判断直线与圆的位置关系
新知探究
（2)作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺，观察直线和圆有几种位置关系？他们的交点个数如何变化？
用定义判断直线与圆的位置关系
新知探究
如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
(1)
(2)
(3)
用定义判断直线与圆的位置关系
新知探究
如图，在中，经过半径的外端点作直线，则圆心到直线 的距离是多少？直线和有什么位置关系？
可以看出，这时圆心到直线的距离就是的半径，直线就是的切线。
思考
切线的判定定理
新知探究
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理
是半径，于
是的切线
定理应用格式
切线的判定定理
新知探究
在生活中，有许多直线和圆相切的实例。
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线
方向飞出的
切线的判定定理
新知探究
判断一条直线是一个圆的切线有几种方法？
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
问题3
切线的判定定理
新知探究
将前面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线是的切线，切点为，那么半径与直线是不是一定垂直呢？
反证法
假设与不垂直,过点作一条直径垂直于,垂足为
则,即圆心到直线的距离小于的半径,因此, 与相交。这与已知条件“直线与相切”相矛盾。
所以与垂直。
思考
切线的性质定理
新知探究
追问1 还有其他的方法证明吗？
构造法
作出小的同心圆大，切小于点,且点为的中点，连接,根据垂径定理，则,即圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的性质定理
新知探究
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
定理应用格式：
直线l切于点
切线的性质定理
新知探究
分析：根据切线的判定定理，要证明是的切线，只要证明由点向所作的垂线段是的半径就可以了，而是的半径，因此只需要证明=
例1 如图,Δ 中， = ， 是 的中点， 与 相切于 。求证： 是 的切线。
切线的性质定理
新知探究
例1 如图,Δ 中， = ， 是 的中点， 与 相切于 。求证： 是 的切线。
证明：过点作，垂足为，连接，
与相切于点D
又 为等腰三角形， 是底边的中点
是∠BAC的平分线
，即是的半径
这样， 经过的半径的外端，并且垂直于半径，所以与相切。
切线的性质定理
新知探究
1.证切线时辅助线的添加方法：
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
2.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
3.切线的其他重要结论：
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
切线的性质定理
新知探究
如果点是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
问题1
切线长定理及应用
新知探究
如图，过圆外一点P有两条直线，
分别与相切。经过圆外一点的圆的切线
上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到
圆的切线长。
切线长定理及应用
新知探究
追问1 切线与切线长有什么区别与联系？
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点。
切线长定理及应用
新知探究
探究 如图，，是的两条切线，切点分别为，在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的与， 与有什么关系？
如图，连接和
和是的两条切线
，
又 =，=
()
切线长定理及应用
新知探究
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
定理应用格式：
、分别切于、
，.
切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
切线长定理及应用
新知探究
追问2 若连结两切点、，交于点.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
垂直平分.
证明：、是的切线,点，是切点
，
是等腰三角形，为顶角的平分线
垂直平分.
切线长定理及应用
新知探究
追问3 若延长交于点，连结、，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
证明：，是的切线,点，是切点，
，
.
，
.
切线长定理及应用
新知探究
问题1 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
追问1 如果半径为的与的三边都相切，那么圆心应满足什么条件？
圆心到三角形三边的距离相等，都等于
追问2 在的内部，如何找到满足条件的圆心呢？为什么呢？
（圆心应是三角形的三条角平分线的交点. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.）
三角形的内切圆及作法
新知探究
问题2 已知：
求作：和的各边都相切的圆
作法：
1.作和的平分线和，交点为
2.过点作垂足为
3.以为圆心，为半径作圆
三角形的内切圆及作法
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形
是的内切圆，点是的内心， 是的外切三角形
新知探究
三角形的内切圆及作法
新知探究
三角形的内心的性质
问题1 如图，是的内切圆，那么线段， , 有什么特点？
线段，，分别是， ， 的平分线。
新知探究
如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且9，14，13.求、、的长.
解：设，则， 13，9
由，可得(13)(9)=14
解得4
因此 4，5，9
三角形的内心的性质
新知探究
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上
三角形的内心到三角形的三边距离相等
三角形的内心的性质
课堂练习
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：
（1）若4cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
（2）若6cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
（3）若8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2.判断下列命题是否正确.
（1）经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
（2）垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
相交
2
相切
1
相离
0
×
×
课堂练习
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是
圆的切线（ ）
（4） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（ ）
（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线（ ）
√
√
√
课堂练习
3.如图，是的直径， 45°，.求证： 是的切线.
证明：
45°
90°，即
是的切线
定义: 相离 相切 相交
公共点的个数 0个 1个 2个
与 的数量关系 > = <
课堂小结
判定
直线与圆的位置关系
性质法
定义法
0个：相离；1个：相切；2个：相交
：相离；：相切；：相交
课堂小结
切线长定理
原理
辅助线
作用
图形的轴对称性
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点
提供了证线段和
角相等的新方法
三角形
内切圆
有关概念
应用
内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程
课堂小结
切线的判定方法
切线的性质
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直。
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点 ，作垂直，证半径
定义法
1个公共点，则相切
数量关系法
，则相切
判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
课堂小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
切线的
性质
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
1个公共点，则相切
，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
有1个公共点
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，
得垂直
课后练习
1.在中，90°， 3cm，4cm，以为圆心，为半径的圆与有怎样的位置关系？为什么？
(1)2cm；(2)2.4cm； (3)3cm．
2.如图，是的直径，直线1、2是的切线，、是切点，1、2有怎样的位置关系？证明你的结论。
课后练习
3.的内切圆半径为， 的周长为，求的面积。24.2.2直线和圆的位置关系
一、内容及其解析
（一）内容
直线和圆的位置关系
（二）内容解析
1.内容本质
一是当直线向圆靠近过程中，通过直线与圆的公共点的个数对直线与圆的位置进行分类；二是与将直线与圆的接近程度数量化，即通过圆心到直线的距离与半径的大小关系，对直线与圆的位置进行分类，二者之间相互对应，相互联系.
2.蕴含的思想和方法
直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系非常类似，从研究对象上来看，它们研究的都是两个图形间的位置关系；从研究方法上来看都是将两个图形进行分类，从数、形两方面进行分析比较；从研究内容来看，都研究位置关系的种类，以及“数”的特性(“两图形间的距离”与半径的数量关系)、“形”的特性(公共点的个数及区域分布)，因此可以类比点和圆的位置关系，研究直线和圆的位置关系.
3.知识的上下位关系
本节课是在学生已经学习了点和圆的位置关系后，对直线和圆的位置关系进行探索.直线和圆的位置关系是后继研究切线判定定理的基础，也是研究直线和曲线位置关系的基础.直线与圆的位置关系从两个方面去刻画：一是当直线向圆靠近过程中，通过直线与圆的公共点的个数对直线与圆的位置进行分类；二是与将直线与圆的接近程度数量化，即通过圆心到直线的距离与半径的大小关系，对直线与圆的位置进行分类，二者之间相互对应，相互联系.
4.育人价值
点和圆的位置关系知识的上下位关系主要涉及点与直线之间的基本位置关系， 包括点在圆上、 点在圆外两种情况，这两种基本的位置关系构成了点和圆关系的基础， 对于理解空间几何中的其他复杂关系，， 具有重要的指导意义。 这些关系的理解和掌握， 有助于学生在空间想象、 逻辑推理和数学建模等方面的发展， 从而提升数学学科素。
（三）教学重点
探索直线和圆的位置关系.
二、教学目标及及教学难点
（一）教学目标
(1)理解直线和圆的三种位置关系.
(2)经历类比点和圆的位置关系研究直线和圆的位置关系的过程，体会类比分类思想以及数形结合思想.
（二）教学难点
类比点和圆的位置关系的研究方法和研究内容探索直线和圆的位置关系.
（三）教学理念
以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源
四、教学过程
（一）复习导入问题1 点和圆有几种位置关系？每种位置关系对应怎样的数量关系？【设计意图】通过复习导入，以提问的方式开启本节课的学习，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂.
如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
可以看出，这时圆心O到直线的距离就是⊙O的半径，直线就是⊙O的切线.这样，我们得到切线的判定定理：
证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵ ⊙O与AB相切于点D
∴ OD⊥AB
又 △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.
∴ AO是∠BAC的平分线
∴ OE=OD，即OE是⊙O的半径
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线；
解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x
由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14解得 x=4因此 AF=4，BD=5，CE=9三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养
（三）应用新知，解决问题1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：（1）若d=4cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有_2___个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆__相切____, 直线与圆有_1___个公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆__相离____, 直线与圆有_0___个公共点. 2.判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ × ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ × ） ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ √ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ √ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ √ ） 3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线.证明：∵ AT=AB∴ ∠ATB=∠ABT=45°∴ ∠BAT=90°，即AB⊥AT∴ AT是⊙O的切线【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）反思小结，构建网络1.本节课是按照什么思路来进行学习的？2.本节课学习了知识？3.本节课的学习用到了哪些思想方法？4.你还有什么其他收获？【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
答：l1∥l2.理由如下：
∵ AB是直径，直线l1是⊙O的切线，切点为A.
∴ l1⊥AB
同理可得：l2⊥AB
解：如图，设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，则点O到AB，BC，AC的距离为r.
∴ S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=×AB×r+×BC×r+×AC×r
=×(AB+BC+AC)×r
=lr【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识
五、板书设计
24.2.2直线和圆的位置关系
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