21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一、内容和内容解析
(一)内容
韦达定理
(二)内容解析
1.内容本质
一元二次方程的根与系数的关系是一元二次方程理论中的核心内容， 它通过韦达定理及其推论， 建立了一元二次方程的根与系数之间的直接联系， 为解决相关问题提供了理论基础和有效工具
2.蕴含的思想方法
通过回顾配方法、公式法、因式分解法，进而通过类比，引申得出因式分解法，这一过程中蕴含着类比的数学思想，体现由数到式的发展过程。
3.知识的上下位关系
韦达定理揭示了一元二次方程的根与其系数之间的特定关系， 这种关系可以通过方程的系数来推导出方程根的性质， 反之亦然。
4.育人价值
学生经过探究、归纳，学习一元二次方程的根与系数的关系，这一过程提高了学生的数学运算能力和推理能力，有助于激发学生对数学学习的兴趣和热情。
（三）教学重点
一元二次方程根与系数的关系.
二、教学目标及教学难点
（一）教学目标
1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.
2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.
3.通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心.
（二）教学难点
让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述.
（三）教学理念
以学生为主轴，以问题为主线，以教材为主源。
三、教学过程
（一）复习导入
问题1 一元二次方程的求根公式是什么？
问题2 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
问题3 一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答
【设计意图】通过复习导入，巩固之前所学知识，建立新旧知识之间的联系，激发学生的学习兴趣，让学生明确本节课要学习的目标
（二）探究新知
思考1： 从因式分解法可知，方程为已知数)的两根为和，将方程化为的形式，你能看出，与之间的关系吗？
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答
把方程的左边展开，化成一般形式，得方程
这个方程的二次项系数为1，一次项系数，常数项
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:
思考2：一般的一元二次方程 中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢
根据求根公式可知，
由此可得
因此，方程的两个根，和系数 有如下关系:
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
师生活动：教师提问，学生思考并积极作答
【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，动静结合，充分发挥学生的主体地位，体会从特殊到一般、数形结合的思想，发展运算能力、推理能力和几何直观的素养，从而突破本节课的教学难点.
（三）应用新知，解决问题
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积:
解:(1)
(2)
(3)方程化为：.
例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是、，其中.
所以：
即：
由于
得：.
答：方程的另一个根是,.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
(1)∵(
∴(
(2)
例4 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；
(3) ； (4) (= .
【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养.
（四）课堂小结
1.本节课是按照什么思路来进行学习的？
2.本节课学习了知识？
3.本节课的学习用到了哪些思想方法？
4.你还有什么其他收获？
【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养.
（五）课后练习
（1）必做题：
1.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
2. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1
（2）选做题：
3.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
4.阅读课本并查阅一元二次方程的根与系数的关系的相关资料
【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识(共26张PPT)
21.2.4
初中数学九年级上册人教版
ax
bx
+
c
=
0
根与系数的关系
一元二次方程的
复习导入
01
探究新知
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课后练习
05
21.2.4
一元二次方程 /
目录
CONTENTS
1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.
2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.
3.通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心.
一元二次方程
21.2.4
学习目标
01
复习导入
01
一元二次方程的求根公式是什么？
问题1
复习导入
01
如何用判别式 来判断一元二次方程根的情况？
问题1
判别式的情况 根的情况
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
复习导入
01
思考;从因式分解法可知，方程(，为已知数)的两根为和，将方程化为的形式，你能看出，与 ， 之间的关系吗？
一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗
问题3
探究新知
02
思考
从因式分解法可知，方程(，为已知数)的两根为和，将方程化为的形式，你能看出，与 ， 之间的关系吗？
左边展开
探究新知
02
这个方程的二次项系数为1，一次项系数，
常数项
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:
左边展开
探究新知
02
一般的一元二次方程 中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢
思考2
根据求根公式可知，
探究新知
02
探究新知
02
因此，方程的两个根，和系数 有如下关系:
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
探究新知
02
把方程
的两边同时除以a能否得出该结论？
因此，方程的两个根，和系数 有如下关系:
探究新知
02
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果的两个根为，，那么
满足上述关系的前提条件:.
探究新知
02
拓展
韦达，1540 年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.
历史上流传着一个有关韦达的趣事: 有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战. 国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外 22 个正数解(他舍弃了另外 22 个负数解). 消息传开，数学界为之震惊. 同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来.
他发现了方程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).
应用新知，解决问题
03
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积:
问题1
(1);
(2);
(3).
应用新知，解决问题
03
解:
(1)
(2)
(3)方程化为：
.
应用新知，解决问题
03
例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是、，其中.
所以：
即：
由于
得：.
答：方程的另一个根是,.
应用新知，解决问题
03
例3 不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
应用新知，解决问题
03
例3 不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和.
(2)
(1)
∵(
∴(
应用新知，解决问题
03
例4 设 ， 为方程 的两个根，则
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
这个式子中二次项、一次项、常数项系数是什么？
应用新知，解决问题
03
例4 设 ， 为方程 的两个根，则
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
4
1
14
12
应用新知，解决问题
03
总结常见的求值
应用新知，解决问题
03
总结常见的求值
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
课堂小结
04
一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
韦达定理
课后作业
04
2. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1
必做题：
1.已知,是方程的两个根，且；
（1）求k的值； （2）求的值.
课后作业
05
4.阅读课本并查阅一元二次方程的根与系数的关系的相关资料
选做题：
3.已知关于x的一元二次方程
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载
